Метод решения приближенных уравнений равновесия и уравнения пластичности

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ СОВМЕСТНО С УРАВНЕНИЯМИ ПЛАСТИЧНОСТИ

При изучении напряжений были получены уравнения равновесия, показывающие зависимость напряжений от координат, и уравнение пластично­сти, связывающее напряжение с физическими свойствами тела — сопротивлением деформации σ_т. В общем случае объемного на­пряженного состояния имеем три уравнения равновесия

Вставка 1.

(1.55) и одно уравнение пластичности (2.8),

Вставка 2

которые содержат шесть не­известных— три нормальных и три касательных напряжений. Число неизвестных больше числа уравнений. Присоединим к ним шесть уравнений связи между напряжениями и деформациями (1.81)

Вставка 3

и три уравнения неразрывности деформаций (1.58),

Вставка 4

в кото­рых содержатся еще семь неизвестных — три линейных деформа­ции, три деформации сдвига и модуль пластичности второго рода. В результате получаем 13 уравнений с 13 неизвестными.

Вставка

Решение такого уравнения необходимо проводить при условии, что эти уравнения соответствуют виду напряженного состояния деформируемого тела; граничные условия задаются в виде соотношения между нормальными и касательными напряжениями; коэффициент трения принимают постоянным по очагу деформации.

МЕТОД РЕШЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ И УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ

Этот метод в настоящее время широко применяют для расчета усилий и расхода энергии при обработке давлением. Метод основан на следующих положениях:

1. Напряженно-деформированное состояние рассматривается либо осесимметричным, либо плоским (плоская деформация или плоское напряженное состояние). Поэтому уравнение пластичности принимают в форме, соответствующей указанным видам состояния:

■ для плоской деформации;

■ для плоского напряженного состояния;

■ для осесимметричного напряженного состояния.

При деформации тела сложной формы его условно разделяют на объемы, напряженно-деформированное состояние которых можно приближенно принимать плоским или осесимметричным.

2. Дифференциальные уравнения равновесия для плоской задачи упрощаются принятием допущения, что нормальные напряжения зависят только от одной координаты. Благодаря этому остается одно дифференциальное уравнение и вместо частных производных можно принять обыкновенные.

Это допущение исключает возможность определения напряжения в каждой точке деформируемого тела в отличие от методов совместного решения точных уравнений равновесия с уравнением пластичности.

Методом решения приближенных уравнений равновесия и уравнения пластичности определяют только напряжения на контакте тела с инструментом. Для определения потребного при деформации усилия этого достаточно.

Рис. 8.3. Схема к определению усилия осадки   ма к опре­делению усилия осадки

В учебнике Н.П.Громова рассмотрено применение этого метода на примере осадки полосы шириной 26, высотой 2h, неограниченной длины меж­ду плоскими шероховатыми плитами по Е. П. Унксову (рис.8.3). На­чало координат расположено на середине ширины и высоты образца. Так как дли­на образца (размер перпендикулярный плоскости чертежа) неограниченно вели­ка, деформация будет плоской. Вследст­вие симметрии полосы относительно оси z определяется напряжения для правого се­чения.

Выделим в теле бесконечно малый объем плоскостями, параллельными оси z на расстоянии х и х + dx от начала координат; длину этого объема примем

равной единице. На выделенный объем действуют нормальные напряжения , , и касательное напряжение

Согласно второму допущению принимаем, что и σ_х не за­висят от координаты z, т. е. постоянны по высоте и зависят толь­ко от координаты х.

Касательное напряжение , переменное по ширине и высо­те, на контактной поверхности равно — касательному напря­жению, обусловленному трением тела об инструмент. Величина уменьшается при удалении от контактной поверхности и вследствие симметрии на средине высоты полосы равна нулю. Принимают, что зависит от высоты полосы линейно, т. е.

Продифференцировав это выражение и подставив значение в уравнение равновесия получаем

(8.5)

Это уравнение можно получить непосредственно из условия равновесия выделенного элемента (см. рис. 106). Сумма проек­ций всех сил, действующих на элементы, на ось х равна нулю, т. е.

Отсюда

( 8.6 )

Для решения этого дифференциального уравнения (8.6) относи­тельно необходимо:

■ установить связь касательных и нормальных напряжений, например, принять закон Кулона — Амонтона:

(8.7)

и записать уравнение пластичности, которое для плоского деформированного состояния имеет следующий вид:

(8.8)

Е. П. Унксов показал, что если зависит от нор­мального напряжения , как в нашем случае, при изменении т_к от нуля до 0,7 k для приближенных расчетов можно принять

dσ_x = dσ_z (8.9)

и тогда выражение (8.8) является при­ближенным.

(8.10)

После разделения переменных и интегрирования находим

Отсюда

Постоянную интегрирования C₁ определим из граничного усло­вия ' (при

х =б ):

Следовательно,

(8.11)

На рис. 107 представлены эпюры , построенные по формуле (6.23), и

(8.12)

По формуле (8.12) можно определить в любой точке кон­тактной поверхности.

Суммируя нормальные напряжения по контактной поверх­ности, можно определить полное давление на единицу длины полосы ²:

(8.13)

¹ везде принимаем положительным, а — в данном случае сжимающее, поэтому оно отрицательное.

² Полное и удельное давление принимаем положительными

Разделив полное усилие Р на контактную площадь 2b, полу­чаем удельное усилие (давление)

(8..14)

Из анализа уравнения (8.13) и эпюр напряжений (рис.8.4 или рис. 107) можно сделать вывод, что напряжения трения на оси полосы скачкообразно переходят от положительных значений к отрица­тельным и эпюра на оси образца имеет резко выраженный пик; как будет показано дальше, это не подтверждается эксперимен­тально. Из эпюр также видно, что контакт­ное напряжение трения (как и ) растет от края полосы к оси по показательной кри­вой с увеличивающейся интенсивностью и величина касательного напряжения ничем не ограничена; ранее было установлено, что касательное напряжение не может бытьбольше

Е.П.Унксов проанализировал возможный характер распределения нор­мального напряжения, полного и удельного усилия в зависимости от рода материала и его фи­зического состояния (температуры, степени и скорости деформации, определяемых величиной ) и от параметра , отражающего влияние напря­женного состояния, зависящего от соотношения размеров тела и коэффициента трения.

.

2. При принятом допущении, что контактное касательное напряжение постоянно ( закон трения по Зибелю):

. (8.15)

на рис. 8.5 или рис.108 показаны эпюры контактных нормальных и касательных напряжений

Из рис. 108 видно, что в отличие от рис. 107 в данном случае при постоянстве контактного касательного напряжения нормальное напряжение от края полосы к се­редине изменяется линейно и растет менее интенсивно..

3. При допущении, что контактные касательные напряжения не имеют скачкообразного изменения при переходе через середину полосы и τ_к на контактной поверхности изменяется по линейно­му закону

(8.16)

где — значение контактного напряжения на краю полосы на рис.109 показан характер распределения нормальных и касательных напряжений

по ширине полосы: нормальное напря­жение в этом случае изменяется по параболе и растет от края к середине ширины с меньшей ин­тенсивностью, чем в первых двух рассмотренных случаях; пик на оси г отсутствует.

Применительно к рассматриваемому процессу осадки Е. П. Унксов определил эпюры напряжений различными методами и установил, что в широком диапазоне изменения коэффициентов трения и отношения ширины полосы к толщине форма эпюр имеет куполообразный вид без резко выраженно­го пика на оси полосы. Касательное напряжение на оси х плавно переходит через нуль. В общем случае эпюры нормальных и касательных напря­жений состоят из трех участков (рис. 110). На I участке и растут от точек А и а с повышающейся интенсивностью по кри­вой, близкой к показательной, до точек В и b. На II участке сохраняет постоянную величину, а растет по прямой до точек С и с. На III участке изменяется по наклонной прямой, проходя через нуль, а изменяется по. параболе, имея максимум на оси полосы.

На основании этого можно сделать вывод, что в периферий­ном участке I металл скользит по инструменту, контактное ка­сательное напряжение является напряжением трения скольже­ния и подчиняется закону Кулона — Амонтона. Это отвечает первому допущению из рассмотренных выше при решении упрощенного дифференциального уравнения равновесия

Рис. 110. Экспериментальные эпюры контактных напряжений при плоской осадке свинцовых об­разцов (Е. П. Унксов)

На рис. 111 представлены эпюры контактных и нормальных напряжений для трех участков (скольжение, торможение и при­липание), построенные по приведенным выше формулам.

Теоретический анализ объясняет форму экспериментальных эпюр контактных касательных и нормальных напряжений при осадке полосы. Эпюры состоят в общем случае из трех участков с различной закономерностьюизменения касательных и нор­мальных напряжений. На I участке (участок скольжения) каса­тельные напряжения равны произведению коэффициента трения на нормальное давление; на втором участке (участокторможения) касательные напряжения трения постоянны, максимальны и равны ; нормальные напряжения растут по прямой; на III участке (участок прилипания) касательные напряжения уменьшаются линейно до нуля на верти­кальной оси полосы; нормальные напряжения изменяются по па­раболе.

.

Метод решения упрощенных уравнений равновесия совмест­но с уравнением пластичности широко применяют при опреде­лении усилий в различных процессах обработки давлением.

Решение этой системы уравнений при известных граничных условиях позволило бы определить напряжения в каждой точке тела и, в частности, на поверхности контакта с инструментом и

тем самым определять полное усилие, потребное для дефор­мации.

Однако, хотя число неизвестных равно числу уравнений, прак­тически эта задача неразрешима из-за большого числа уравне­ний в частных производных.

Задача упрощается для частных случаев напряженного со­стояния.

Для осесимметричного напряженного состояния имеем два уравнения равновесия (1.109), одно уравнение пластичности (2.32), четыре уравнения связи между напряжениями и дефор­мациями [которые можно получить из уравнения (1.81) при за­мене индексов на и на , а также учитывая, что при осесим-метричном напряженном состоянии ] и одно уравнение неразрывности деформаций (1.111). Всего получаем восемь уравнений с восемью неизвестными.

Для плоского напряженного и плоского деформированного состояний имеем два уравнения равновесия (1.102) и одно урав­нение пластичности (2.28) или (2.24), всего три уравнения с тре­мя неизвестными.

Несмотря на значительные упрощения задачи для осесиммет­ричного и плоского напряженного состояния и плоской деформа­ции, для этих случаев также решено ограниченное число за­дач [12].

В качестве примера применения метода решения уравнений равновесия совместно с уравнением пластичности определим внутреннее давление в трубе, при котором все сечение трубы де­формируется пластически. Внутренний радиус трубы обозначим через а, наружный через Ь. Деформацию вдоль оси трубы примем равной нулю, т. е. деформация будет плоской.

Напряженное состояние трубы — осесимметричное. Для этого используем уравнение пластичности (2.34) и уравнение равнове-. сия (1.109), учитывая, что

Подставив во второе уравнение (1:109) значение =

из уравнения (2.34), получаем

или

Отсюда радиальное напряжение сжатия на внутренней по­верхности трубы (максимальное по абсолютной величине)

(6.1)

Внутреннее давление р по абсолютной величине равно нор­мальному радиальномудавлению, т. е.

Можно также определить радиальное напряжение в любой точке сечения трубы, интегрируя уравнение равновесия в преде­лах от Ь до любого значения , Тогда

(6.1а)

Тангенциальное напряжение (растягивающее) на внутренней поверхности трубы

(6.16)

а на наружной поверхности

(6.1в)