Деление отрезка в данном соотношении

Пусть на произвольной прямой задан отрезок AB. Тогда всякая точка C этой прямой делит отрезок AB в некотором отношении λ = ± |AC|:|CB|. Если отрезки AC и CB направлены в одну сторону (т.е. точка C лежит внутри отрезка AB), то λ приписывают знак «+». Если же отрезки AC и CB направлены в противоположные стороны (т.е. точка C лежит вне отрезка AB), то λ приписывают знак «–».

Если точка A имеет координаты (x₁, y₁, z₁), а точка B – координаты (x₂, y₂, z₂), то координаты точки C ( , , ) определяются по формулам:

; ; .

В частности, если точка C делит отрезок AB пополам, то λ = 1 и координаты точки C( , , ) определяются по формулам:

; ; .

Скалярное произведение векторов и его приложения

Скалярным произведением двух векторов и называется число ,равное произведению данных векторов на косинус угла между ними

,

где обозначает меньший угол между направлениями векторов и , причем всегда .

Свойства скалярного произведения векторов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) · = 0 ↔ ^ , т.е. если ненулевые векторы ортогональны.

Если векторы и разложены по осям координат, т.е. и , то скалярное произведение находится по формуле

,

т.е. сумме произведений соответствующих координат.

С помощью скалярного произведения можно определить угол между векторами:

.

Работа A силы , произведенная этой силой при перемещении тела на пути |S|, определяемом вектором , вычисляется по формуле

.

Задание 1

По координатам точек A, B и C для указанных векторов найти:

а) модуль вектора ;

б) скалярное произведение векторов и ;

в) проекцию вектора на вектор ;

г) координаты точки M, делящей отрезок l в отношении α:β;

д) угол между векторами и ;

е) направляющие косинусы вектора .

1.1. A(4, 6, 3), B(– 5, 2, 6), C(4, – 4, – 3),

= 4 – , = , = , = ,

l = AB, α = 5, β = 4.

1.2. A(4, 3, – 2), B(– 3, – 1, 4), C(2, 2, 1),

= – 5 + 2 , = , = , = ,

l = BC, α = 2, β = 3.

1.3. A(– 2, – 2, 4), B(1, 3, – 2), C(1, 4, 2),

= 2 – 3 , = , = , = ,

l = BA, α = 2, β = 1.

1.4. A(2, 4, 3), B(3, 1, – 4), C(– 1, 2, 2),

= 2 + 4 , = , = , = ,

l = BA, α = 1, β = 4.

1.5. A(2, 4, 5), B(1, – 2, 3), C(– 1, – 2, 4),

= 3 – 4 , = , = , = ,

l = AB, α = 2, β = 3.

1.6. A(– 1, – 2, 4), B(– 1, 3, 5), C(1, 4, 2),

= 3 – 7 , = , = , = ,

l = AC, α = 1, β = 7.

1.7. A(1, 3, 2), B(– 2, 4, – 1), C(1, 3, – 2),

= 2 + 5 , = , = , = ,

l = AB, α = 2, β = 4.

1.8. A(2, – 4, 3), B(– 3, – 2, 4), C(0, 0, – 2),

= 3 – 4 , = = , = ,

l = AC, α = 2, β = 1.

1.9. A(3, 4, – 4), B(– 2, 1, 2), C(2, – 3, 1),

= 5 + 4 , = = , = ,

l = BA, α = 2, β = 5.

1.10. A(0, 2, 5), B(2, – 3, 4), C(3, 2, – 5),

= – 3 + 4 , = = , = ,

l = AC, α = 3, β = 2.

1.11. A(– 2, – 3, – 4), B(2, – 4, 0), C(1, 4, 5),

= 4 – 8 , = = , = ,

l = AB, α = 4, β = 2.

1.12. A(– 2, – 3, – 2), B(1, 4, 2), C(1, – 3, 3),

= 2 – 4 , = = , = ,

l = BC, α = 3, β = 1.

1.13. A(5, 6, 1), B(– 2, 4, – 1), C(3, – 3, 3),

= 3 – 4 , = = , = ,

l = BC, α = 3, β = 2.

1.14. A(10, 6, 3), B(– 2, 4, 5), C(3, – 4, – 6),

= 5 – 2 , = = , = ,

l = CB, α = 1, β = 5.

1.15. A(3, 2, 4), B(– 2, 1, 3), C(2, – 2, – 1),

= 4 – 3 , = , = , = ,

l = AC, α = 2, β = 4.

1.16. A(– 2, 3, – 4), B(3, – 1, 2), C(4, 2, 4),

= 7 + 4 , = = , = ,

l = AB, α = 2, β = 5.

1.17. A(4, 5, 3), B(– 4, 2, 3), C(5, – 6, – 2),

= 9 – 4 , = = , = ,

l = BC, α = 5, β = 1.

1.18. A(2, 4, 6), B(– 3, 5, 1), C(4, – 5, – 4),

= – 6 + 2 , = = , = ,

l = BC, α = 1, β = 3.

1.19. A(– 4, – 2, – 5), B(3, 7, 2), C(4, 6, – 3),

= 9 + 3 , = = , = ,

l = BA, α = 4, β = 3.

1.20. A(5, 4, 4), B(– 5, 2, 3), C(4, 2, – 5),

= 11 – 6 , = , = , = ,

l = BC, α = 3, β = 1.

1.21. A(3, 4, 6), B(– 4, 6, 4), C(5, – 2, – 3),

= – 7 + 4 , = , = , = ,

l = BA, α = 5, β = 3.

1.22. A(– 5, – 2, – 6), B(3, 4, 5), C(2, – 5, 4),

= 8 – 5 , = = , = ,

l = AC, α = 3, β = 4.

1.23. A(3, 4, 1), B(5, – 2, 6), C(4, 2, – 7),

= – 7 + 5 , = = , = ,

l = AB, α = 2, β = 3.

1.24. A(4, 3, 2), B(– 4, – 3, 5), C(6, 4, – 3),

= 8 – 5 , = = , = ,

l = BC, α = 2, β = 5.

1.25. A(– 5, 4, 3), B(4, 5, 2), C(2, 7, – 4),

= 3 + 2 , = = , = ,

l = BC, α = 3, β = 4.

1.26. A(6, 4, 5), B(– 7, 1, 8), C(2, – 2, – 7),

= 5 – 2 , = , = , = ,

l = AB, α = 3, β = 2.

1.27. A(6, 5, – 4), B(– 5, – 2, 2), C(3, 3, 2),

= 6 – 3 , = = , = ,

l = BC, α = 1, β = 5.

1.28. A(– 3, – 5, 6), B(3, 5, – 4), C(2, 6, 4),

= 4 – 5 , = , = , = ,

l = BA, α = 4, β = 2.

1.29. A(3, 5, 4), B(4, 2, – 3), C(– 2, 4, 7),

= 3 – 4 , = , = , = ,

l = BA, α = 2, β = 5.

1.30. A(4, 6, 7), B(2, – 4, 1), C(– 3, – 4, 2),

= 5 – 2 , = = , = ,

l = AB, α = 3, β = 4.

Пример решения задания 1

По координатам точек A(– 5, 1, 6), B(1, 4, 3) и C(6, 3, 9) найти:

а) модуль вектора = 4 + ;

б) скалярное произведение векторов и = ;

в) проекцию вектора = на вектор = ;

г) координаты точки M, делящей отрезок l = AB в отношении 1:3;

д) угол между векторами и ;

е) направляющие косинусы .

►а) Последовательно находим = (6, 3, – 3), = (5, – 1, 6), 4 + = (29, 11, – 6),

;

б) Имеем: = (29, 11, – 6), = (5, – 1, 6). Тогда

· =29·5 + 11·(– 1) + (– 6)·6 = 98;

в) Так как

пр_d = , = (6, 3, – 3),

· = 30 – 3 – 18 = 9, | | = ,

то

;

г) Имеем: λ = , . Следовательно,

, ,

, ;

д) Имеем: = (29, 11, – 6), = (5, – 1, 6), , = 98. Тогда

= = = 0,394,

= arccos 0,394;

е) Имеем: = (6, 3, – 3), = . Тогда

, , .

Делаем проверку:

,

.◄