Деление отрезка в данном соотношении
Пусть на произвольной прямой задан отрезок AB. Тогда всякая точка C этой прямой делит отрезок AB в некотором отношении λ = ± |AC|:|CB|. Если отрезки AC и CB направлены в одну сторону (т.е. точка C лежит внутри отрезка AB), то λ приписывают знак «+». Если же отрезки AC и CB направлены в противоположные стороны (т.е. точка C лежит вне отрезка AB), то λ приписывают знак «–».
Если точка A имеет координаты (x1, y1, z1), а точка B – координаты (x2, y2, z2), то координаты точки C ( ,
,
) определяются по формулам:
;
;
.
В частности, если точка C делит отрезок AB пополам, то λ = 1 и координаты точки C( ,
,
) определяются по формулам:
;
;
.
Скалярное произведение векторов и его приложения
Скалярным произведением двух векторов и
называется число
,равное произведению данных векторов на косинус угла между ними
,
где обозначает меньший угол между направлениями векторов
и
, причем всегда
.
Свойства скалярного произведения векторов:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ·
= 0 ↔
^
, т.е. если ненулевые векторы ортогональны.
Если векторы и
разложены по осям координат, т.е.
и
, то скалярное произведение находится по формуле
,
т.е. сумме произведений соответствующих координат.
С помощью скалярного произведения можно определить угол между векторами:
.
Работа A силы , произведенная этой силой при перемещении тела на пути |S|, определяемом вектором
, вычисляется по формуле
.
Задание 1
По координатам точек A, B и C для указанных векторов найти:
а) модуль вектора ;
б) скалярное произведение векторов и
;
в) проекцию вектора на вектор
;
г) координаты точки M, делящей отрезок l в отношении α:β;
д) угол между векторами и
;
е) направляющие косинусы вектора .
1.1. A(4, 6, 3), B(– 5, 2, 6), C(4, – 4, – 3),
= 4
–
,
=
,
=
,
=
,
l = AB, α = 5, β = 4.
1.2. A(4, 3, – 2), B(– 3, – 1, 4), C(2, 2, 1),
= – 5
+ 2
,
=
,
=
,
=
,
l = BC, α = 2, β = 3.
1.3. A(– 2, – 2, 4), B(1, 3, – 2), C(1, 4, 2),
= 2
– 3
,
=
,
=
,
=
,
l = BA, α = 2, β = 1.
1.4. A(2, 4, 3), B(3, 1, – 4), C(– 1, 2, 2),
= 2
+ 4
,
=
,
=
,
=
,
l = BA, α = 1, β = 4.
1.5. A(2, 4, 5), B(1, – 2, 3), C(– 1, – 2, 4),
= 3
– 4
,
=
,
=
,
=
,
l = AB, α = 2, β = 3.
1.6. A(– 1, – 2, 4), B(– 1, 3, 5), C(1, 4, 2),
= 3
– 7
,
=
,
=
,
=
,
l = AC, α = 1, β = 7.
1.7. A(1, 3, 2), B(– 2, 4, – 1), C(1, 3, – 2),
= 2
+ 5
,
=
,
=
,
=
,
l = AB, α = 2, β = 4.
1.8. A(2, – 4, 3), B(– 3, – 2, 4), C(0, 0, – 2),
= 3
– 4
,
=
=
,
=
,
l = AC, α = 2, β = 1.
1.9. A(3, 4, – 4), B(– 2, 1, 2), C(2, – 3, 1),
= 5
+ 4
,
=
=
,
=
,
l = BA, α = 2, β = 5.
1.10. A(0, 2, 5), B(2, – 3, 4), C(3, 2, – 5),
= – 3
+ 4
,
=
=
,
=
,
l = AC, α = 3, β = 2.
1.11. A(– 2, – 3, – 4), B(2, – 4, 0), C(1, 4, 5),
= 4
– 8
,
=
=
,
=
,
l = AB, α = 4, β = 2.
1.12. A(– 2, – 3, – 2), B(1, 4, 2), C(1, – 3, 3),
= 2
– 4
,
=
=
,
=
,
l = BC, α = 3, β = 1.
1.13. A(5, 6, 1), B(– 2, 4, – 1), C(3, – 3, 3),
= 3
– 4
,
=
=
,
=
,
l = BC, α = 3, β = 2.
1.14. A(10, 6, 3), B(– 2, 4, 5), C(3, – 4, – 6),
= 5
– 2
,
=
=
,
=
,
l = CB, α = 1, β = 5.
1.15. A(3, 2, 4), B(– 2, 1, 3), C(2, – 2, – 1),
= 4
– 3
,
=
,
=
,
=
,
l = AC, α = 2, β = 4.
1.16. A(– 2, 3, – 4), B(3, – 1, 2), C(4, 2, 4),
= 7
+ 4
,
=
=
,
=
,
l = AB, α = 2, β = 5.
1.17. A(4, 5, 3), B(– 4, 2, 3), C(5, – 6, – 2),
= 9
– 4
,
=
=
,
=
,
l = BC, α = 5, β = 1.
1.18. A(2, 4, 6), B(– 3, 5, 1), C(4, – 5, – 4),
= – 6
+ 2
,
=
=
,
=
,
l = BC, α = 1, β = 3.
1.19. A(– 4, – 2, – 5), B(3, 7, 2), C(4, 6, – 3),
= 9
+ 3
,
=
=
,
=
,
l = BA, α = 4, β = 3.
1.20. A(5, 4, 4), B(– 5, 2, 3), C(4, 2, – 5),
= 11
– 6
,
=
,
=
,
=
,
l = BC, α = 3, β = 1.
1.21. A(3, 4, 6), B(– 4, 6, 4), C(5, – 2, – 3),
= – 7
+ 4
,
=
,
=
,
=
,
l = BA, α = 5, β = 3.
1.22. A(– 5, – 2, – 6), B(3, 4, 5), C(2, – 5, 4),
= 8
– 5
,
=
=
,
=
,
l = AC, α = 3, β = 4.
1.23. A(3, 4, 1), B(5, – 2, 6), C(4, 2, – 7),
= – 7
+ 5
,
=
=
,
=
,
l = AB, α = 2, β = 3.
1.24. A(4, 3, 2), B(– 4, – 3, 5), C(6, 4, – 3),
= 8
– 5
,
=
=
,
=
,
l = BC, α = 2, β = 5.
1.25. A(– 5, 4, 3), B(4, 5, 2), C(2, 7, – 4),
= 3
+ 2
,
=
=
,
=
,
l = BC, α = 3, β = 4.
1.26. A(6, 4, 5), B(– 7, 1, 8), C(2, – 2, – 7),
= 5
– 2
,
=
,
=
,
=
,
l = AB, α = 3, β = 2.
1.27. A(6, 5, – 4), B(– 5, – 2, 2), C(3, 3, 2),
= 6
– 3
,
=
=
,
=
,
l = BC, α = 1, β = 5.
1.28. A(– 3, – 5, 6), B(3, 5, – 4), C(2, 6, 4),
= 4
– 5
,
=
,
=
,
=
,
l = BA, α = 4, β = 2.
1.29. A(3, 5, 4), B(4, 2, – 3), C(– 2, 4, 7),
= 3
– 4
,
=
,
=
,
=
,
l = BA, α = 2, β = 5.
1.30. A(4, 6, 7), B(2, – 4, 1), C(– 3, – 4, 2),
= 5
– 2
,
=
=
,
=
,
l = AB, α = 3, β = 4.
Пример решения задания 1
По координатам точек A(– 5, 1, 6), B(1, 4, 3) и C(6, 3, 9) найти:
а) модуль вектора = 4
+
;
б) скалярное произведение векторов и
=
;
в) проекцию вектора =
на вектор
=
;
г) координаты точки M, делящей отрезок l = AB в отношении 1:3;
д) угол между векторами и
;
е) направляющие косинусы .
►а) Последовательно находим = (6, 3, – 3),
= (5, – 1, 6), 4
+
= (29, 11, – 6),
;
б) Имеем: = (29, 11, – 6),
= (5, – 1, 6). Тогда
·
=29·5 + 11·(– 1) + (– 6)·6 = 98;
в) Так как
прd =
,
= (6, 3, – 3),
·
= 30 – 3 – 18 = 9, |
| =
,
то
;
г) Имеем: λ = ,
. Следовательно,
,
,
,
;
д) Имеем: = (29, 11, – 6),
= (5, – 1, 6),
,
= 98. Тогда
=
=
= 0,394,
= arccos 0,394;
е) Имеем: = (6, 3, – 3),
=
. Тогда
,
,
.
Делаем проверку:
,
.◄