Теорема об обращении в ноль определителя Вронского для линейно зависимой системы функций

Определителем Вронского (вронскианом) системы n - 1 раз дифференцируемых функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется определитель

.

(26)

Теорема о вронскиане линейно зависимой системы функций. Если система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависима на интервале (a, b), то вронскиан этой системы тождественно равен нулю на этом интервале.
Док-во. Если функции y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависимы на интервале (a, b), то найдутся числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что

для .

(27)

Продифференцируем по x равенство (27) n - 1 раз и составим систему уравнений
Будем рассматривать эту систему как однородную линейную систему алгебраических уравнений относительно . Определитель этой системы - определитель Вронского (26). При эта система имеет нетривиальное решение , следовательно, в каждой точке её определитель равен нулю. Итак, W(x) = 0 при , т.е. на (a, b).