Пифагоровы расширения и разрешимость уравнений в квадратных радикалах

Разрешимость алгебраических уравнений в квадратных радикалах имеет важное значение в теории геометрических построений циркулем и линейкой и тесно связано с понятием пифагорово расширения.

Определение 1. Простое алгебраическое расширение где , , называется простым пифагоровым расширением поля .

Определение 2. Если в цепочке полей

каждое поле является простым пифагоровским расширением предшествующего ему соседнего поля, то есть,

то поле при любом называется пифагоровым расширением поля .

Отметим ряд простейших свойств пифагоровых расширений.

1. Простое пифагорово расширение состоит из всевозможных чисел вида , где .

Это свойство вытекает из теоремы 2, §3 .

2. Пифагорово расширение является конечным расширением поля степени . Это есть частный случай теоремы 1 § 5.

3. Каждый элемент из пифагорова расширения является алгебраическим относительно поля числом степени .

Доказательство следует из свойства 2 и т.3 § 3 (в старом варианте теорема 2 и замечание к теореме 2 § 3).

Теорема 1. Число выражается в квадратных радикалах через тогда и только тогда, когда принадлежит некоторому пифагорову расширению поля .

Доказательство. Сначала индукцией по покажем, что любой элемент из поля выражается в квадратных радикалах через . Так как для любого из поля

,

то при наше утверждение верно.

Предположим, что наше утверждение верно при , т.е. каждый элемент из выражается в квадратных радикалах через . Тогда, если , то

, где

Это значит, что выражается в квадратных радикалах через . Отсюда, учитывая предположение индукции и свойства 3 § 8 , заключаем, что выражается в квадратных радикалах через , т.е. наше утверждение верно при . Но тогда оно верно и при любом натуральном значении .

Обратно, если число выражается в квадратных радикалах через , то последовательно присоединяя эти радикалы, мы и получим пифагорово расширение поля , содержащее .

Например, если , где , то принадлежит составному алгебраическому расширению

, где .

Если , то это и есть искомое пифагорово расширение. Если же, например, , то искомым пифагоровым расширением будет поле .

Следствие. Уравнение

разрешимо в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда все его корни принадлежат некоторому пифагорову расширению области рациональности этого уравнения.

Доказательство вытекает из Т₁ и Т₁ § 8.

Теорема 2. Кубическое уравнение

(1)

разрешимо в квадратных радикалах , когда, по крайней мере, один его корень принадлежит области рациональности .

Доказательство. Если – корень уравнения (1), , то

, .

Отсюда уже видно, что все корни уравнения (1) выражаются в квадратных радикалах через поле и в силу теоремы 1 § 8 уравнение (1) разрешимо в квадратных радикалах.

Обратно, пусть уравнение (1) разрешимо в квадратных радикалах. Тогда все его корни принадлежат некоторому пифагорову расширению поля и, следовательно, являются алгебраическими над полем числами степени . Отсюда и следует, что, по крайней мере, один из корней принадлежит полю . В самом деле, если бы ни один из корней не принадлежал полю , то многочлен был бы неприводим над полем , и все его корни были бы алгебраическими над полем числами степени .

Следствие. Кубическое уравнение с рациональными коэффициентами разрешимо в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда, оно имеет по крайней мере один рациональный корень.

Упражнения.

1. Какие из следующих уравнений разрешимы в квадратных радикалах:

a)

b)

c)

d)

2. Показать, что уравнение

,

не имеющее корней в области рациональности, разрешимо в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда в области рациональности этого уравнения находится по крайней мере один корень кубической резольвенты.