Примеры. 1.Вычислить частное значение функции:

1.Вычислить частное значение функции:

а) при

б) в

2.Построить область изменения переменных и , заданную неравенствами:

а) , .

Этим неравенствам удовлетворяют координаты каждой точки, находящейся внутри и на границе прямоугольника, стороны которого лежат на прямых , . Этот прямоугольник и есть область изменения переменных и (рис. а). Такая область, в которую входит и ее граница, называют замкнутой.

б) .

Данная область – совокупность всех точек, лежащих внутри эллипса . Область открытая (рис. б).

в) .

Данная область – круговое кольцо, ограниченное окружностями и с общим центром в начале координат и радиусами, равными 2 и 3. Область замкнутая (рис. в).

г) .

Открытая область, ограниченная биссектрисой первого координатного угла и осью абсцисс (рис. г).

3.Найти область определения функций:

а) .

. Геометрическое изображение этой функции (график) – это плоскость, пересекающая координатные оси в точках , и .

б) .

Из условия, что знаменатель не должен обращаться в нуль: находим и одновременно. Отсюда: область определения данной функции – вся числовая плоскость, за исключением точки .

в) .

Из условия, что подкоренное выражение быть неотрицательным: находим . Отсюда: область определения данной функции – круг с центром в точке и радиусом . (Внутри круга подкоренное выражение положительно, на его границе – равно нулю, а вне круга – отрицательно.)

Графическим изображением данной функции является полусфера, расположенная над плоскостью хОу (рис.2).

Рис. 2.

в) .

Область определения этой функции находим из условия . Точки, удовлетворяющие этому неравенству, лежат внутри I и III квадрантов.

г) .

Область определения этой функции – вся числовая плоскость, за исключением прямой .

е) .

Область определения этой функции – совокупность значений и , удовлетворяющих неравенствам . На плоскости хОу эта область представляет собой полосу, ограниченную параллельными прямыми и .

2. Предел ФНП. Непрерывность

1°. Расстояние между двумя точками в -пространстве задается равенством

2°. Окрестностью точки радиуса называется совокупность всех точек , которые удовлетворяют условию

.

3°. Число А называется пределом функции в точке :

если абсолютное значение разности будет меньше любого наперед заданного положительного числа e > 0, когда расстояние меньше некоторого положительного числа d (зависящего от e).

Для функции двух переменных записывают:

4°. Для непрерывности функции в точке необходимо выполнение следующих условий:

1) функция должна быть определена в точке и вблизи нее;

2) функция должна иметь предел, когда точка стремится к произвольным способом;

3) этот предел должен быть равен значению функции в точке :

(1)

5°. Функция , непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной в этой области.

6°. Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрывафункции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:

1) Функция не определена в точке .

2) Не существует предел .

3) Этот предел существует, но он не равен .

7°. Функция двух переменных может иметь множество точек разрыва. Если они составляют линию, то она называется линией разрыва функции.

Например, функция разрывна в каждой точке окружности . Эта окружность есть линия разрыва данной функции.