Правило лопіталя. похідні вищих порядків

Кажуть, що відношення двох функцій правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru при правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru є невизначеністю виду правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru або правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru , якщо правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru або правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru відповідно.

Розкрити ці невизначеності, тобто обчислити правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru , надає можливість правило Лопіталя: якщо існує границя відношення похідних правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru (скінченна або нескінченна), тоді існує і границя правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru , причому справедлива формула:

правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru = правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru . (16)

Зауваження 1. Якщо похідні функцій правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru і правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru задовольняють тим самим вимогам, що і самі функції правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru і правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru при правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru , тоді правило Лопіталя можна застосувати повторно.

Приклад 1. Обчислити правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru .

правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru .

Приклад 2. Обчислити правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru .

правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru .

Зауваження 2.Невизначеності виду правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru для функції правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru за допомогою тотожного перетворення правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru можна привести до невизначеності правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru . Остання невизначеність легко зводиться до невизначеності правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru .

Приклад 3. Знайти правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru .

Маємо невизначеність правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru .

правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru .

Приклад 4. Знайти правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru .

Маємо невизначеність правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru .

правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru

Функція правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru називається похідною першого порядку функції правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru . Похідна від похідної функції правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru називається похідною другого порядку цієї функції: правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru . Похідні, починаючи з другої, називаються похідними вищих порядків: правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru . Отже, похідна п-го порядку правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru є похідна від похідної (п - 1)-го порядку.

У механіці похідна другого порядку від функції правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru , яка описує траєкторію руху матеріальної точки, має фізичний зміст, а саме визначає прискорення точки в момент часу правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru : правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru .

Формула Тейлора.

Нехай функція правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru має в точці правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru і деякому її околі похідні порядку п+1. Це означає, що функція правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru та її похідні до порядку п включно неперервні і диференційовні в цьому околі. Тоді справедлива формула Тейлора

правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru де правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru деякий залишковий член, причому правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru при правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru (0!=1 у формулі (17)).

Отже, формула Тейлора надає можливість розкласти функцію правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru у степеневий ряд в околі деякої точки правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru .

Зауваження. Формулою Маклорена називають формулу Тейлора (17) при правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru .

Приклад 1. Знайти правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru .

Маємо невизначеність правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru . Розкладемо функції правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru і правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru у ряд Маклорена з необхідною точністю:

правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru

правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru

правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru

Тоді маємо:

правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru

Приклад 2. Знайти правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru .

Маємо невизначеність правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru . Розкладемо функцію правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru в ряд Маклорена: правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru У результаті отримуємо:

правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru .

Дослідження функції на екстемум.

Асимптоти графіка функцій

Нехай функція правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru диференційована на інтервалі правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru . Точка правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru називається точкою екстремуму, якщо правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru .

Точка екстемуму правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru називається локальним мінімумом (максимумом), якщо правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru ліворуч від цієї точки і правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru праворуч від цієї точки.

Крім того, у точці локального мінімуму (максимуму) справедливе співвідношення правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru .

Точка правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru називається точкою перегину, якщо 1) правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru і 2) правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru має різні знаки ліворуч і праворуч від точки правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru .

Приклад 1. Дослідити функцію правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru на екстремум.

правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru Знаходимо похідну і прирівнюємо її нулю: правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru . Отже, точками екстремуму є правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru і правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru . Відмітивши їх на осі х (Рис. 3.1), дослідимо на її верхній частині знак похідної функції правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru в околі цих точок екстремуму, а в її нижній частині – інтервали монотонності даної функції. У результаті маємо: на інтервалі ( правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru ) правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru (функція правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru зростає), на інтервалі правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru (функція правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru спадає), і, нарешті, на інтервалі правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru (функція правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru знову зростає). Це означає, що функція правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru у точці правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru має локальний максимум правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru , а у точці х=1 – локальний мінімум правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru . Дійсно, правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru і правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru .

правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru + max – min +

правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru x

правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru 1

Рис. 3.1. Дослідження функції на екстремум

правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru – +

правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru х

Рис. 3.2. Дослідження функції на перегин

Дослідимо, чи має дана функція точку перегину. Для цього знайдемо другу похідну і прирівняємо її до нуля: правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru . З

Рис. 3.2 видно, що правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru має різні знаки ліворуч і праворуч від точки правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru і, отже, дана точка є точкою перегину функції правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru . Її графік наведено на Рис. 3.3.

 
  правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru

правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru 4 у

 
  правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru

2 правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru

 
  правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru

правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru 0 правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru 1 х

 
  правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru

правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru -2

       
    правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru
 
  правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru

-4

-2 -1 0 1 2

Рис. 3.3. Графік функції правило лопіталя. похідні вищих порядків - student2.ru

При дослідженні поведінки функції на нескінченності та поблизу точок розриву (невизначеності) часто виявляється, що графік функції як завгодно близько наближається до тієї чи іншої прямої. Такі прямі називаються асимптотами. Існують три види асимптот: вертикальні, горизонтальні і нахилені.

Наши рекомендации