Раздел 2. колебания и волны.

Задача №1

Колебание происходит по закону Х = Аsin³wt. Является ли оно гармоническим?

Решение

Представим данное колебание в виде набора гармоник.

Преобразуем выражение

;

.

Исходное колебание не является гармоническим, поскольку мы имеем сумму разночастотных колебаний с различными амплитудами.

Задача №2

В молекуле N₂ частота колебаний атомов w₀ = 4,05×10¹⁴ с^-1. Масса одного атома m. Найти коэффициент k квазиупругой силы, действующей между атомами.

Решение

Положим, что при колебаниях затухания нет. Тогда собственная частота колебаний w₀ = 40,45. 10¹⁴ с^-1. По таблицам массу моля молекулярного азота: m = 14 г/моль. Тогда масса молекулы составит m₀ = m/N_A = 14/6,023.10²³ = 2,32.10^-26 кг (N_A – число Авогадро). Полагая, что квазиупругая сила подчиняется закону Гука F = kx, для собственной частоты осциллятора имеем выражение w₀ ² = k/m₀ . Отсюда k = m₀ w₀ ² = 2,32.10^-26 . 20.10²⁸ = 4,04.10³ Н/м.

Задача №3

Энергия частицы массой m представляет собой следующую функцию:

Найти частоту колебаний. Определить силу, действующую на частицу, при прохождении ею положения равновесия.

Определить скорость в тот момент, когда она находится в крайнем положении.

Решение

Пусть Е – энергия частицы в заданный момент времени, а Е_n – потенциальная энергия в этот же момент.

; ; - положение равновесия.

;

при х = х_mах .

При максимальном отклонении скорость v = 0 .

; , .

Задача №4

Сложить два одночастотных колебания, совершающихся вдоль одной прямой: а₁ = 3 sin wt и а₂ = 4 cos wt.

Решение.

а = а₁ + а₂. Преобразуем а₁ к стандартному виду:

а₁ = 3 sin wt = 3 cos( wt - p/2).

Для сложения одночастотных колебаний необходимо геометрически сложить векторы амплитуд повернутых друг относительно друга на 90⁰. В результате будем иметь колебание с амплитудой F и со сдвигом фаз d : х = F cos ( wt - d). Причем

; .

Задача №5

Энергия резонансного перехода в ядре железа составляет 14 кэВ (1 эВ = 1,6×10^-19 Дж). Добротность перехода 10¹⁰. Найти ширину спектральной линии этого мессбауэровского перехода.

Решение

Добротность ,

где Е – энергия колебательной системы в данный момент вращения, DЕ – потеря энергии системой за период колебаний – это и есть ширина спектральной линии.

; DЕ = 1,4×10^-18 Дж.

Задача №6

Рубиновый лазер излучает на l = 0,58 мкм. Ширина линии изменяется от 4,7 10^-2 до 4,7 10^-4 Ангстрем (А⁰). В каких пределах изменяется добротность лазера (резонатора Фабри-Перо)?

Решение

Добротность , где w - частота (круговая) излучения, Dw - ширина резонансной кривой на полувысоте:

; ;

Поэтому , l = 0,58 мкм = 5800 А.

, .

Задача №7

Сложить 3 одночастотных колебания, совершаемых вдоль одной прямой: Х₁ = 3 sin wt; Х₂ = 4 coswt; Х₃ = 5cos(wt + j), где j = -arctg(3/4).

Решение

Преобразуем

Вначале сложим первые два колебания

х = х₁ + х₂

; .

Теперь сложим эту сумму с третьим колебанием. Получим

.

Задача №8

Период колебания качелей Т₀. Как изменится период колебаний, если на качели сядет человек массой М. Длина качелей L₀. m₀- масса пустых качелей.

Решение

Основное уравнение динамики вращательного движения для качелей

; .

Когда на качели сел человек с моментом инерции – , то -момент инерции всей системы

L – расстояние от оси вращения до центра масс системы человек-качели.

; ;

;

1) Первый случай (масса качелей больше массы человека):

и ; ,

2) Второй случай (масса качелей меньше массы человека):

Задача №9

Самолет стартует под углом α к горизонту с ускорением а. Найти частоту малых колебаний математического маятника длины l подвешенного в самолете.

Решение

Найдем эквивалентное ускорение g₁ обусловленное инерционными силами и силой тяжести. Из рисунка по теореме косинусов

(g¹)² = а² + g² + 2аg sin α

ω² = g¹ /l

Задача №10

В электрическом колебательном контуре индуктивность катушки равна 4.10^-3 Гн, а максимальный ток в ней 0,1 А. В момент, когда ток в катушке равен 0,05 А, определить энергию электрического поля конденсатора.

Решение

Мгновенное значение тока i = I_maxsin (wt) Мгновенное значение эдс индукции в катушке e = L i¹(t) = L I_maxw cos (wt) равно напряжению на конденсаторе. Определим sin (wt) из первого выражения, подставив i и I_max , и найдем cos (wt)= 3^1/2/2. Собственная частота контура w² = LC, где С – емкость конденсатора. Тогда энергия электрического поля в конденсаторе Е = Ce²/2 = 1,5 .10^-5 Дж.

Задача №11

Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С = 1,2 нФ и катушку индуктивности L = 6 мГн. Активное сопротивление R = 0,5 Ом. Какую среднюю мощность должен потреблять такой контур, чтобы в нем поддерживались незатухающие колебания с амплитудой напряжения на конденсаторе U_M = 10 В?

Решение

Резонансная частота контура находится по формуле

.

Добротность связана с резонансной частотой и коэффициентом затухания b соотношением

Q = w_р/(2b) = , b = R/L,

а так же с убылью энергии DЕ за период

Q/2p = E/DE , dE = 2pЕ/Q.

Энергия, накопленная в конденсаторе E = C /2 и потребляемая мощность

Задача

Коаксиальный кабель состоит из центральной части (жилы) диаметром d и проводящей оплетки диаметром D. Пространство между жилой и оплеткой заполнено диэлектриком с диэлектрической проницательностью ε. Найти ёмкость и индуктивность в расчёте на 1 метр длины для такого кабеля.

Решение.

Начнем с определения ёмкости куска кабеля длины l, считая его бесконечно длинным и прямым. Зарядим центральную проводящую жилу и оплетку равными по величине и противоположными по знаку зарядами: q = ρl и – q, где ρ – линейная плотность заряда на жиле. Напряженность поля в диэлектрике на расстоянии r от оси равна

.

Разность потенциалов между жилой и оплеткой:

.

Емкость на один метр длины (l = 1 м)

.

Определим индуктивность. Для этого используем два выражения для энергии магнитного поля в объёме ΔV:

и .

Итак, пусть по проводящей жиле течет ток I, а по оплетке – такой же ток в противоположном направлении. Тогда индукция магнитного поля снаружи кабеля будет нулевой, а внутри объема заполненного диэлектриком на расстоянии r от оси кабеля

.

Возьмем в этом диэлектрике тонкий цилиндрический спой радиуса r и толщины dr с длиной l. Энергия магнитного поля в выделенном объеме равна

.

Тогда энергия во всем зазоре между жилой и оплеткой определяется интегрированием

.

На основании изложенного выше индуктивность кабеля длины l будет равна

.

Можно вычислить волновое сопротивление кабеля по формуле . Это чисто активное сопротивление. Если к концу куска кабеля подключить резистор такой величины, то от конца кабеля не будет происходить отражения электромагнитной волны, бегущей вдоль него.