Методи одержання характеристичного рівняння перехідного процесу

Закони комутації і їх обґрунтування.

Перший закон комутації.

Перший закон комутації застосовується до кіл в яких є індуктивність.

Він звучить так: Струм в котушці індуктивності не може змінитись скачком. Тому миттєвий струм в вітці (ділянці) з котушкою індуктивності в початковий момент перехідного процесу залишається таким, яким він був в кінцевий момент попереднього усталеного режиму.

Іншими словами, струм через котушку індуктивності безпосередньо після комутації має те ж значення, що безпосередньо і до комутації.

Справедливість першого закону комутації випливає із простих міркувань, наприклад, у випадку включення котушки індуктивності на постійну напругу (рис. 1). До замикання ключа (рубильника) Р встановлений режим характеризується тим, що струм в колі, активна напруга і реактивна рівні нулю.

З моменту замикання ключа (рубильника) виникає перехідний процес, протягом якого струм в котушці збільшується до певної величини , змінюються і напруги і . Електричний стан кола по схемі рис.1 (25,1) в будь-який момент перехідного періоду характеризується рівнянням:

(1)

Це рівняння виражає баланс напруги в колі: частину прикладеної до кола напруги компенсує спад напруги в опорі ( ) і друга частина врівноважує ерс самоіндукції, яка виникає при зміні струму. В усталеному режимі при замкнутому рубильнику Р струм в колі постійний, швидкусть зміни струму рівна нулю , тому і індуктивна напруга рівна нулю. Напруга джерела повністю прикладена до опору R,і струм в колі визначається згідно закону Ома: (2)

Представимо, що перехідний період відсутній і струм в котушці моментально ( ) збільшується від 0 до кінцевої величини І. Тоді швидкість зміни струму повинна бути рівною безкінечності ( ). Та це заперечує рівняння (1), в якому напруга джерела U- кінцева величина. Зміна струму скачком означала б також, що енергія магнітного поля котушки збільшилась скачком від 0 до . Для моментальної зміни запасу енергії в магнітному полі колі необхідне джерело безкінечно великої потужносі , що не має фізичного змісту. З першого закону комутації випливає, що в початковий момент після замикання ключа (при t=0) струм в колі рівний нулю ( ), спад напруги в опорі , а індуктивна напруга = напрузі джерела і коло наче розімкнуте індуктивністю.

Другий закон комутації.

Другий закон комутації застосовується до кіл, в яких є ємність.

Він звучить так: Напруга на ємності не може змінюватись скачком. Тому напруга на ємності в початковий момент перехідного процесу залишається таким, яким він був в кінцевий момент попереднього усталеного режиму. Іншими словами, напруга на конденсаторі безпосередньо після комутації має те ж значення, що безпосередньо і до комутації.

Справедливість другого закону комутації випливає із простих міркувань, наприклад, у випадку зарядки конденсатора через опір (резистор) (включення кола з R і C на постійну напругу, рис. 2 (25,2))

До замикання ключа Р, усталений режим характеризується тим, що струм в колі, напруга на опорі (резисторі) і конденсаторі рівні нулю.

З моменту замикання ключа виникає перехідний процес, на протязі якого напруга на конденсаторі збільшується до напруги джерела U (конденсатор заряджається), змінюється струм в колі і напруга на резисторі. Електричний стан кола (рис.2.(25,2)) в будь-який момент часу перехідного процесу характеризується рівнянням, складеним згідно другого закону Кірхгофа:

Струм в колі пропорційний швидкості зміни напруги на конденсаторі: (3)

Враховуючи це, матимемо: (4)

Прикладена до кола напруга (напруга джерела) ділиться на дві частини: одна з них ( ) компенсує спад напруги на резисторі, а друга ( ) рівна напрузі на конденсаторі. В усталеному режимі при замкненому ключі Р напруга на конденсаторі не змінюється, швидкість зміни напруги на конденсаторі рівна нулю( ), тому і струм в колі рівен нулю . Напруга на резисторі (опорі) рівна нулю і, відповідно, напруга джерела повністю прикладена до конденсатора: (коло розімкнуте конденсатором).

Докази існування перехідного процесу при зарядці конденсатора аналогічні тим, які були раніше наведені для кола з котушкою індуктивності. Представимо (уявимо), що в момент замикання ключа Р напруга на конденсаторі змінилась скачком від 0 до U. Таке уявлення означає кінцеву зміну напруги за час, рівний нулю, , що суперечить рівнянню (4), в якому напруга джерела – кінцева величина. Крім того, при зміні напруги на конденсаторі скачком енергія електричного поля повинна збільшитись моментально від 0 до . Для такої скачкоподібної зміни енергії необхідне джерело нескінченно великої потужності, чого не може бути в дійсності. Із другого закону комутації випливає, що в початковий момент перехідного процесу (при t=0) напруга на конденсаторі рівна нулю ( ) (конденсатор наче б то замкнутий накоротко (закорочений)). Напруга на резисторі рівна напрузі джерела , а струм в колі .