Условия прочности при прямом поперечном изгибе
Балки рассчитывают на прочность по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в их поперечных сечениях. При поперечном изгибе балок наряду с нормальными, как известно, возникают и касательные напряжения, но они в подавляющем большинстве случаев невелики и при расчетах на прочность не учитываются.
Расчет балок из пластичных материалов.
Прочность балки из пластичного материала обеспечена, если наибольшие по абсолютному значению нормальные напряжения, возникающие в опасном поперечном сечении, не превышают допускаемых. Для балки, поперечные размеры которой по всей длине постоянны (пока только такими балками и ограничимся), опасное сечение то, в котором возникает наибольший по модулю изгибающий момент.
Наибольшие нормальные напряжения возникают в точках опасного поперечного сечения, максимально удаленных от нейтральной оси. Будем называть эти точки опасными. – расстояние от опасной точки до нейтральной оси. Тогда получим условие прочности в виде
(19.5)
где – максимальное нормальное напряжение;
– максимальный изгибающий момент;
– момент инерции относительно оси ОХ – осевой момент инерции;
– допускаемое напряжение, принимаемое при статическом нагружении таким же, как и в случае растяжения (сжатия) бруса из того же материала.
В случае если поперечное сечение балки симметрично относительно нейтральной оси, оказывается возможным привести формулу (19.5) к более удобному виду. Для указанных сечений гдеh – высота сечения (размер в направлении, перпендикулярном нейтральной оси), следовательно,
Разделим числитель и знаменатель этого выражения :
Введем обозначение
и получим окончательное условие прочности в следующем виде:
(19.6)
– осевой момент сопротивления, или момент сопротивления при изгибе.
Момент сопротивления– это геометрическая характеристика, прочности бруса, работающего на прямой изгиб. Действительно, чем больше момент сопротивления, тем меньше напряжения, возникающие в поперечном сечении балки при данной нагрузке.
Формула представляет собой зависимость для проверочного расчета.
Значения моментов сопротивления прокатных профилей (двутавров и швеллеров) приведены в таблицах соответствующих ГОСТов.
Моменты сопротивления круга, кольца и прямоугольника:
а) круг
или
(19.7)
б)кольцо (рис. 19.11)
или
(19.8)
в) прямоугольник
или
(19.9)
h – сторона прямоугольника, перпендикулярная оси, относительно которой вычисляется момент сопротивления.
Из приведенных примеров следует, что сечение надо располагать таким образом, чтобы силовая линия совпадала с той из главных осей, относительно которой момент инерции минимален, или, что то же самое, так, чтобы ось, относительно которой момент инерции максимален, была нейтральной осью сечения. Более кратко это можно сформулировать так: следует стремиться к тому, чтобы изгиб бруса происходил в плоскости его наибольшей жесткости.
46. Схема расчёта на прочность при изгибе, условия прочности при изгибе.
Расчеты на жесткость при изгибе.
В ряде случаев работающие на изгиб элементы машиностроительных и строительных конструкций должны быть рассчитаны не только на прочность, но и на жесткость. К деталям, рассчитываемым на жесткость, относятся, в частности, валызубчатых и червячных передач и многие части металлорежущих станков.
Расчет на жесткость элемента конструкции, имеющего форму бруса, заключается в определении наибольших перемещений его поперечных сечений и сопоставлении их с допускаемыми, зависящими от назначения и условий эксплуатации данного элемента.
Рассмотрим простую консоль, нагруженную на свободном конце силой F, линия действия которой совпадает с одной из главных осей поперечного сечения балки (рис. 19.12).
При деформации балки центры тяжести ее поперечных сечений получают линейные перемещения, а сами сечения поворачиваются вокруг своих нейтральных осей. Допущение о малости перемещений позволяет считать, что направления линейных перемещений перпендикулярны продольной оси недеформированного бруса. Эти перемещения принято называть прогибами. Прогиб произвольного сечения обозначим , а наибольший прогиб –стрелу прогиба– f. Геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформированного бруса, т.е. ось изогнутого бруса, условно называют изогнутой осью, или чаще упругой линией.
Угол поворота поперечного сечения равен углу между касательной к упругой линии в данной точке и осью недеформированного бруса.
Вывод: ордината упругой линии и угол наклона касательной, проведенной к ней в данной точке, полностью определяют линейное и угловое перемещения соответствующего поперечного сечения балки.
В большинстве случаев условие жесткости выражается неравенством
(19.10)
т.е. максимальный прогиб (стрела прогиба f) не должен превышать допускаемого . Значение допускаемого прогиба зависит от назначения и условий работы рассчитываемой конструкции и колеблется в широких пределах. Обычно допускаемую стрелу прогиба указывают в долях пролета (межопорного расстояния l) балки. Например, для ручных грузоподъемных кранов
, для электрических
, для валов и шпинделей металлорежущих станков
= 0.0005...0.0010l.
Для обеспечения нормальной работы подшипников скольжения и роликовых подшипников качения иногда ставится дополнительное условие жесткости – ограничение угла поворота опорных сечений:
(19.11)
При этом допускаемый угол поворота составляет в среднем 0,001 рад.