Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии

Условие задачи

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru   Рис. 5.17. Фигура с одной осью симметрии

Сечение стержня представляющее собой фигуру, обладающую одной осью симметрии, показано на рис. 5.17. Требуется найти моменты инерции этой фигуры относительно главных центральных осей.

Решение

Ось Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru – ось симметрии фигуры (рис. 5.18) – является главной осью инерции. Найдем положение второй главной центральной оси, определив положение центра тяжести фигуры. Очевидно, что центр тяжести лежит на оси симметрии, поэтому найдем только координату Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru по последней из формул (5.15). Разобьем сложную фигуру на составляющие простые: две пары прямоугольных треугольников I , III и прямоугольник II (см. рис. 5.18). Площадь фигуры

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Для определения статического момента выберем вспомогательную ось Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru , проходящую через центр тяжести прямоугольника II. В этом случае статический момент фигуры II равен нулю. Чтобы найти статические моменты треугольников, умножаем площадь фигуры на координату ее центра тяжести в системе Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru :

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Тогда по (5.15)

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Откладываем эту координату и проводим через центр тяжести (точку С на рис. 5.18) главную центральную ось Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru .

Найдем моменты инерции всей фигуры относительно осей Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru и Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru , складывая (или вычитая) моменты инерции составляющих фигур:

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru ;

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru .

Для определения момента инерции каждой из фигур I, II и Ш используем формулы изменения моментов инерций при параллельном переносе осей (5.16), (5.17). Моменты инерции прямоугольника II и треугольников I и Ш относительно собственных центральных осей Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru (см. рис. 5.18) находим по формулам (5.26), (5.28). Тогда

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru   Рис. 5.18. К определению моментов инерции симметричной фигуры

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

В заключение вычислим радиусы инерции относительно главных центральных осей по формулам (5.10) и построим эллипс инерции.

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Эллипс инерции показан на рис. 5.18.

Пример 2. Определение моментов инерции

Несимметричного сечения

Условие задачи

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru   Рис. 5.19. Несимметричная фигура

Сечение стержня представляет собой несимметричную фигуру, показанную на рис. 5.19. Требуется найти положение главных центральных осей инерции фигуры и моменты инерции относительно этих осей.

Решение

Найдем положение центра тяжести фигуры по формулам (5.15). Разобьем фигуру на три простые: треугольник I, прямоугольник II и квадрант круга Ш. Площадь всей фигуры

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Для определения статических моментов выберем вспомогательные оси Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru , проходящие через центр тяжести прямоугольника II (рис. 5.20). Статический момент каждой фигуры равен площади фигуры, умноженной на координату центра тяжести этой фигуры в системе координат Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru . Суммарные статические моменты

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Координаты центра тяжести

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

отложены на рис. 5.20.

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru   Рис. 5.20. К определению моментов инерции несимметричной фигуры

Проведем через центр тяжести центральные оси Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru (см. рис. 5.20) и найдем моменты инерции относительно этих осей, как сумму моментов инерций простых фигур, составляющих заданную фигуру. Для определения моментов инерции простых фигур I, II и Ш используем формулы (5.16)–(5.18). Моменты инерции относительно собственных осей Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru прямоугольника, треугольника и квадранта круга вычисляем по формулам (5.26), (5.28) и (5.29).

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Теперь найдем положение главных осей инерции. Угол, на который надо повернуть ось Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru , чтобы она стала главной осью, определяем по формуле (5.23):

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru ;

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru ; Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru .

В соответствии с правилом знаков откладываем отрицательный угол Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru по часовой стрелке и проводим главные центральные оси инерции Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru (см. рис. 5.20). Вычислим моменты инерции относительно этих осей по формуле (5.24):

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru ; Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru .

Для проверки вычислений удобно использовать следующее свойство: сумма моментов инерций относительно двух любых пар ортогональных осей есть величина постоянная. Тогда должно быть

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru .

В нашем примере Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru .

Чтобы выяснить, какой момент инерции – максимальный или минимальный – соответствует оси Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru , исследуем знак второй производной функции Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru по (5.25).

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru .

Положительный знак второй производной означает, что оси Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru соответствует минимальное значение момента инерции, т. е.

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Найдем радиусы инерции относительно главных центральных осей по (5.10) и построим эллипс инерции.

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Эллипс инерции показан на рис. 5.20. Видно, что эллипс вытянут в том направлении, в котором вытянута фигура.

5.2.2. Определение грузоподъемности жесткого стержня моносимметричного сечения при внецентренном

растяжении-сжатии (задача № 29)

Условие задачи

Жесткий стержень загружен двумя силами – растягивающей и сжимающей (рис. 5.21). Стержень выполнен из хрупкого материала с характеристиками Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru и Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru . Сечение стержня симметрично и имеет форму и размеры, соответствующие рис. 5.17. Требуется:

1) найти допускаемую нагрузку на стержень из условия прочности, если отношение сжимающей и растягивающей сил Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

2) построить ядро сечения.

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru   Рис. 5.21. Стержень, подверженный растяжению-сжатию двумя силами

Решение

Положение главных центральных осей инерции и моменты инерции относительно этих осей заданного сечения найдены ранее в п. 5.2.1 (пример 1). Найдем внутренние усилия в произвольном сечении стержня:

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Для определения положения опасных точек построим нейтральную линию. Уравнение нейтральной линии (5.2) в данной задаче имеет вид

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru ,

или

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru .

Отсюда найдем отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru и Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru . Если Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru , то

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

и, если Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru , то

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru Рис. 5.22. Эпюра напряжений от действия сил Fр и Fс и ядро сечения

Нейтральная линия показана на рис. 5.22. Проведем касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии. Опасными являются точки 1 и 1¢ (см. рис. 5.22), наиболее отдаленные от нейтральной линии. Для хрупкого материала более опасной является точка с максимальными растягивающими напряжениями, т. е. точка 1. Найдем напряжение в этой точке, подставляя в формулу (5.1) координаты точки 1:

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Условие прочности в точке 1 Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru , или

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Отсюда можно найти допускаемое значение нагрузки[8]. В заключение необходимо убедиться в том, что и в точке 1¢, которая в данном примере дальше удалена от нейтральной оси, чем точка 1, и в которой действуют сжимающие напряжения, условие прочности тоже выполняется, т. е.

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Теперь построим ядро сечения. Поместим полюсы во внешних угловых точках сечения. Учитывая симметрию сечения, достаточно расположить полюсы в трех точках: 1, 2 и 3 (см. рис. 5.22). Подставляя в формулы (5.12) координаты полюсов, найдем отрезки, отсекаемые нейтральными линиями на осях Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru и Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru . Если полюс находится в точке 1, то его координаты Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru и

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru .

Нейтральная линия 1–1, соответствующая полюсу в точке 1, показана на рис. 5.22. Аналогично строим нейтральные линии 2–2 и 3–3, соответствующие полюсам 2 и 3. При построении нейтральной линии следите за тем, чтобы она проходила в квадранте, противоположном тому, в котором находится полюс. Область, заштрихованная на рис. 5.22, является ядром сечения. Для контроля на рис. 5.22 показан эллипс инерции. Ядро сечения должно находиться внутри эллипса инерции, нигде не пересекая его.

5.2.3. Определение грузоподъемности внецентренно сжатых жестких стержней несимметричных сечений (задачи № 30, 31)

Условие задачи

Стержень несимметричного сечения сжимается силой, приложенной в точке А (рис. 5.23). Поперечное сечение имеет форму и размеры, показанные на рис. 5.19. Материал стержня – хрупкий. Требуется:

1) найти допускаемую нагрузку, удовлетворяющую условию прочности;

2) построить ядро сечения.

Решение

Прежде всего надо определить моменты и радиусы инерции поперечного сечения относительно главных центральных осей. Эта часть решения задачи приведена в примере 2 п. 5.2.1. На рис. 5.23 показаны главные центральные оси инерции сечения Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru , Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru , положение которых найдено ранее. В системе центральных осей Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru , Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru (рис. 5.24) координаты точки приложения силы А Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru , Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru . Вычислим координаты точки А в системе главных центральных осей по формулам (5.19).

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru   Рис. 5.23. Стержень, сжатый силой F  

Найденные координаты рекомендуем проверить, измерив эти координаты на рисунке сечения, выполненном в большом масштабе[9].

Для определения положения опасных точек построим нейтральную линию, используя формулы (5.12). Радиусы инерции Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru , Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru найдены ранее.

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Отложим эти отрезки вдоль главных осей и проведем через полученные точки нейтральную линию Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru (см. рис. 5.24) . Опасными точками, т. е. точками, наиболее удаленными от нейтральной оси, будут точки 1 и 3 (см. рис. 5.24). В точке 1 действует наибольшее растягивающее напряжение. Запишем условие прочности в этой точке, используя формулу (5.9):

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Подставим в условие прочности координаты опасной точки 1 в главных осях, вычислив их по формулам (5.19) или измерив на рисунке, выполненном в масштабе, Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru Тогда из условия прочности в точке 1 можно найти допускаемое значение нагрузки:

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru .

Для найденного значения допускаемой нагрузки необходимо убедиться, что условие прочности выполняется и в точке 3, которая дальше удалена от нейтральной линии и в которой действует сжимающее напряжение. Для определения напряжения в точке 3 подставим в формулу (5.9) координаты этой точки Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Это напряжение не должно превосходить Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru . Если условие прочности в точке с максимальными сжимающими напряжениями выполняться не будет, надо найти значение допускаемой нагрузки заново из условия прочности в этой точке.

В заключение построим ядро сечения. Поместим полюсы во внешние угловые точки сечения, т. е. в точки 1, 2, 3, 4, 5 (см. рис. 5.24). Поясним, как получена точка 4, находящаяся на контуре квадранта круга. Отсекая внутреннюю угловую точку Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru , проводим линию, касательную к контуру сечения (пунктир на рис. 5.24). Точка 4 является точкой касания этой линией квадранта круга. Последовательно находим положение нейтральных линий, соответствующих полюсам в указанных точках, находя отрезки, отсекаемые нейтральными линиями на осях Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru , Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru , по формулам (5.12). Например, если полюс находится в точке 1, то, подставляя в (5.12) координаты точки 1 ( Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru ), найдем

  Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru Рис. 5.24. Эпюра напряжений от силы F и ядро сечения

.

Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru

Поскольку Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru существенно больше Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru , то это значит, что нейтральная линия 1–1 практически параллельна оси Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru . Отрезок Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru откладываем в масштабе вдоль оси Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru и проводим прямую 1–1, параллельную оси Пример 1. Определение моментов инерции сечения, имеющего одну ось симметрии - student2.ru (см. рис. 5.24). Аналогично строим нейтральные линии, соответствующие полюсам, расположенным в других точках. Ядро сечения (заштрихованная область) показано на рис. 5.24. Отметим, что контур ядра сечения между нейтральными линиями 4–4 и 5–5 очерчен по кривой, так как переход полюса из точки 4 в точку 5 происходит не по прямой линии. На рис. 5.24 показан также эллипс инерции сечения, построенный ранее.

Наши рекомендации