Условные вероятности. Теорема умножения

вероятностей(вероятность произведения событий)

Рассмотрим задачу. Студент перед экзаменом выучил из 30 билетов билеты с номерами с 1 по 5 и с 26 по 30. Известно, что студент на экзамене вытащил билет с номером, не превышающим 20. Какова вероятность, что студент вытащил выученный билет?

Определим пространство элементарных исходов: W=(1,2,3,...,28,29,30). Пусть событие А заключается в том, чтостудент вытащил выученный билет: А = (1,...,5,25,...,30), а событие В – в том, что студент вытащил билет из первых двадцати: В = (1,2,3,...,20). Событие А∩В состоит из пяти исходов: (1,2,3,4,5), и его вероятность равна 5/30. Это число можно представить как произведение дробей 5/20 и 20/30. Число 20/30 – это вероятность события B. Число 5/20 можно рассматривать как вероятность события А при условии, что событие В произошло (обозначим её Р(А/В)). Таким образом, решение задачи определяется формулой

P(А∩В)=Р(B)×Р(А/В),

которая называется формулой умножения вероятностей, а вероятность Р(А/В) – условной вероятностью события A.

В другом способе записи эта формула имеет вид

P(А×В)=Р(B)×Р(А/В)=Р(A)×Р(B/A).

Тем самым вопрос о вычислении условной вероятности Р(А/В) сводится к вычислению двух безусловных вероятностей P(А×В) и Р(B), определенных на заданном вероятностном пространстве.

Вероятность произведения n событий A₁,A₂,…,A_n равна произведению одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое произошло, на условную вероятность третьего при условии, что и первое и второе произошло и т.д.

Событие А называется независимым от события В (иначе: события А и В называются независимыми), если Р(А/В)=Р(А).

За определение независимых событий можно принять следствие последнего равенства и формулы умножения:

P(А∩В)=Р(А)×Р(B),

или

P(АВ)=Р(А)×Р(B).

Если события A₁,A₂,…,A_n попарно независимы, то вероятность наступления хотя бы одного из них проще вычисляется не по формуле сложения, а по формуле умножения вероятностей:

.

Пример 11. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями 0.851, 0.751, и 0.701. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя:

а) только один элемент;

б) хотя бы один элемент.

Решение. Испытание, т.е. работу за время Т, нужно рассмотреть на двух уровнях: на уровне устройства и на уровне элементов. Вероятности элементарных событий заданы.

а) Обозначим за А₁ событие, когда за время Т выходит из строя только один элемент;

В₁ – первый элемент выходит из строя;

В₂ – второй элемент выходит из строя;

В₃ – третий элемент выходит из строя;

– первый элемент не выходит из строя;

– второй элемент не выходит из строя;

– третий элемент не выходит из строя;

Учитывая независимость элементов устройства, а также не­совместность событий и , получаем следующую формулу:

По условию ,

следовательно .

Таким образом,

б) А₂ – событие, когда за время Т выходит из строя хотя бы один элемент; событие определяется словами “хотя бы”, значит, используем противоположное событие – за время Т все элементы работают безотказно.

Пример 12. В кармане лежит n ключей, из которых только один подходит к замку. Ключи по одному достают из кармана. Какова вероятность того, что нужный ключ будет вынут при k-м извлечении?

Решение. Обозначим через A_k событие, состоящее в том, что нужный ключ вынули на k-м шаге, соответственно состоит в том, что на этом шаге достали не тот ключ. Событие, вероятность которого требуется найти, есть произведение (первые k–1 раз достали не тот ключ, а на k-й раз вынули нужный).

Очевидно, что

,

т.е. (n –1) ненужных из n ключей;

,

если в первый раз достали неправильный ключ, в кармане осталось (n –1) ключей, из них (n –2) не подходят;

и так далее:

Если (k–1) раз доставали неправильный ключ, то в кармане осталось (n – k +1) ключей, из них один подходящий. Значит

Итак,