Линейные и квадратичные функции
Линейная функция 
. Функция определена на всей числовой прямой, 
. Множество ее изменения – также множество всех действительных чисел, 
. Функция не ограничена. Она не имеет точек экстремума. При 
функция является возрастающей, при 
– убывающей. При 
функция является постоянной. Графиком линейной функции является прямая. Угловой коэффициент k прямой равен тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси абсцисс, 
(рис. 31). Из аксиом геометрии известно, что если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости. Поэтому для построения графика линейной функции достаточно задать две точки.
Квадратичная функция 
( 
). Функция определена на всей числовой прямой. Графиком квадратичной функции является парабола.
Для построения графика квадратичной функции целесообразно преобразовать формулу, выделив полный квадрат: 
, где 
. Таким образом, получаем, что вершина параболы находится в точке с координатами 
. График квадратичной функции симметричен относительно прямой 
.
При 
ветви параболы направлены вверх. В точке 
функция имеет минимум и принимает в этой точке наименьшее значение. При 
функция возрастает, при 
функция убывает. В этом случае квадратичная функция ограничена снизу и не ограничена сверху.
При 
ветви параболы направлены вниз. В точке 
функция имеет максимум и принимает в этой точке наибольшее значение. При функция убывает, при функция возрастает. В этом случае квадратичная функция ограничена сверху и не ограничена снизу.
Если дискриминант соответствующего квадратного уравнения положителен, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках. Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс. Если дискриминант отрицателен, то парабола расположена выше оси абсцисс, если , и ниже оси абсцисс, если .
Пример 10. Постройте графики функций 
и 
.
Решение. Вершина параболы имеет координаты 
и 
. Так как старший коэффициент 
положителен, то ветви параболы направлены вверх. Также, решив уравнение 
, можно найти точки пересечения с осью абсцисс: 
и 
(рис. 32).
Для параболы аналогично получаем, что и 
, и ветви ее направлены вниз. Данная парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс, так как дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицателен (рис. 33).
Построение графиков
Дробно-линейных функций
Функция вида 
, где 
и 
, называется дробно-линейной. Графиком этой функции является гипербола.
Частным случаем дробно-линейной функции является функция обратной пропорциональности 
. График этой функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. При гипербола расположена в первой и третьей четвертях, при – во второй и четвертой четвертях.
Пример 11. Постройте график функции 
.
Решение. Выделим целую часть дроби 
.
Таким образом, уравнение, которым задается график функции, примет вид 
. График заданной функции получается из графика функции 
сдвигом на 2 единицы по оси OX влево, растяжением вдоль оси OY в 2 раза и сдвигом на 1,5 единицы по оси OY вверх.
Заметим, что график функции не пересекает прямые 
и 
, хотя и приближается к ним достаточно близко. Такие прямые называются асимптотами графика функции. График дробно-линейной функции имеет две асимптоты – вертикальную и горизонтальную . Построение графика удобно начинать именно с нахождения асимптот: для нахождения вертикальной асимптоты приравниваем знаменатель дроби нулю, а для нахождения горизонтальной асимптоты выделяем целую часть дроби (рис. 34).
Построение графика произвольной дробно-линейной функции выполняется по алгоритмам, разобранным в примере 11.
Упражнения
8. Постройте графики функций:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
.
9. Постройте графики функций:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
.
10. Постройте графики функций:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
.
11. Постройте графики функций:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.