Связанные контуры как полосовой фильтр
Идеальный фильтр должен иметь П-образную частотную характеристику и линейную фазовую характеристику в полосе пропускания. Для решения многих радиотехнических задач необходимы фильтры, частотная характеристика которых приближается к идеальной. Для создания таких фильтров используется система контуров, связанных между собой или общим магнитным полем (индуктивная связь), или общим электрическим полем (ёмкостная связь).
Рассмотрим два одинаковых контура (R1=R2=R, L1=L2=L, C1=C2=C) с индуктивной связью (рис. 1).
Коэффициент передачи такой схемы:
(1)
где - комплексные амплитуды э.д.с., силы тока во втором контуре и напряжения на конденсаторе.
Для нахождения амплитуды силы тока в контурах запишем систему уравнений Кирхгофа:
(2)
М – коэффициент взаимной индукции.
Воспользовавшись методом комплексных амплитуд, запишем в комплексной форме: , , . Подставив эти значения в систему (2) получим систему уравнений:
(3)
где - сопротивления связи.
Решая систему уравнений (3), находим
(4)
Из первого соотношения (4) можно заключить, что связь первого контура со вторым контуром в электрическом отношении эквивалентна включению в первый контур дополнительно вносимого сопротивления Zвн:
, (5)
где: .
С энергетической точки зрения наличие объясняется тем, что часть энергии источника поступает во второй контур и поглощается в его активном сопротивлении. Наличие связано с тем, что ток I2 наводит э.д.с. взаимной индукции в первом контуре. Таким образом, влияние второго контура на первый приводит к увеличению эквивалентного активного сопротивления первого контура на и изменению его эквивалентного реактивного сопротивления на . Следовательно, эквивалентное сопротивление симметричной системы двух связанных контуров, измеренное на входных зажимах «11» можно представить в виде: , . На собственной частоте :
(6)
и зависят от частоты сигнала (от расстройки ). При , , а , имеет максимальное значение. В зависимости от М может быть как больше, так и меньше собственного активного сопротивления R первого контура.
Если , связь называется критической.
Если , связь слабая.
Если , связь больше критической.
При критической связи .
Умножив числитель и знаменатель левой части на L2, получим:
Количественно связь между контурами характеризуется коэффициентом связи . При одинаковых контурах L1=L2=L, определяет, какая доля собственного магнитного потока катушки первого контура проходит через катушку второго. При критической связи .
Найдём резонансные частоты системы из условия равенства нулю её реактивного сопротивления .
В последнее уравнение подставим (6), учтём, что , а , получим:
(7)
Получили уравнение (7) третьей степени относительно . Корни этого уравнения
.
При связи меньше критической ( ) корни мнимые и не имеют физического смысла. Следовательно, при система имеет одну резонансную частоту , определяемую действительным корнем ( ). При все три корня равны 0, система в этом случае имеет одну резонансную частоту . При все три корня уравнения (7) действительны и, значит, система имеет три резонансных частоты, одна из которых , а две другие
.
Частоты называют частотами связи, или нормальными частотами системы.
Для связанных контуров при можно получить фильтр с более широкой полосой пропускания по сравнению с одиночным контуром и амплитудно-частотную характеристику, близкую к идеальной П-образной.
Определим значение коэффициента передачи. Для этого подставим Im2 из (4) в (1), получим:
(8)
Преобразуем знаменатель (8), учитывая, что расстройка и , тогда:
Подставим последнее выражение в (8):
.
Откуда
(9)
На рис. 24 приведено семейство зависимостей K( ), описываемых уравнением (9) для различных значений .
При .
Ширина полосы пропускания связанных контуров определяется также, как и для одиночного:
или .
Отсюда . Тогда относительная полоса пропускания при критической связи (кривая 2, рис. 24) в раз больше, чем у одиночного контура.
При амплитудно-частотная характеристика не имеет провала при (кривая 1, рис. 24). При слабой связи ( )
.
Отсюда .
Таким образом, при слабой связи полоса пропускания связанных контуров уже, чем у одиночного контура.
При амплитудно-частотная характеристика становится двугорбой, с провалом при (кривая 3, рис. 24). Оптимальным считается такое значение , при котором коэффициент передачи в минимуме К(0) в раза меньше, чем в максимуме Kmax.
В этом случае можно составить два уравнения:
(10а)
(10б)
Учитывая, что при модуль коэффициента передачи К на частотах связи не зависит от и равен модулю коэффициента передачи при критической связи и , получим:
.
Откуда
(11)
Подставим (11) в (9), и учитывая (10а), получим:
.
Отсюда
.
Следовательно, в оптимальном случае , а полоса пропускания фильтра связанных контуров примерно втрое шире, чем у одиночного контура-фильтра.
Глава 5.
Электронные приборы.