Связанные контуры как полосовой фильтр

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru Идеальный фильтр должен иметь П-образную частотную характеристику и линейную фазовую характеристику в полосе пропускания. Для решения многих радиотехнических задач необходимы фильтры, частотная характеристика которых приближается к идеальной. Для создания таких фильтров используется система контуров, связанных между собой или общим магнитным полем (индуктивная связь), или общим электрическим полем (ёмкостная связь).

Рассмотрим два одинаковых контура (R1=R2=R, L1=L2=L, C1=C2=C) с индуктивной связью (рис. 1).

Коэффициент передачи такой схемы:

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru (1)

где Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru - комплексные амплитуды э.д.с., силы тока во втором контуре и напряжения на конденсаторе.

Для нахождения амплитуды силы тока в контурах запишем систему уравнений Кирхгофа:

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru (2)

М – коэффициент взаимной индукции.

Воспользовавшись методом комплексных амплитуд, запишем в комплексной форме: Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru , Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru , Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru . Подставив эти значения в систему (2) получим систему уравнений:

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru (3)

где Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru - сопротивления связи.

Решая систему уравнений (3), находим

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru (4)

Из первого соотношения (4) можно заключить, что связь первого контура со вторым контуром в электрическом отношении эквивалентна включению в первый контур дополнительно вносимого сопротивления Zвн:

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru , (5)

где: Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru .

С энергетической точки зрения наличие Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru объясняется тем, что часть энергии источника поступает во второй контур и поглощается в его активном сопротивлении. Наличие Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru связано с тем, что ток I2 наводит э.д.с. взаимной индукции в первом контуре. Таким образом, влияние второго контура на первый приводит к увеличению эквивалентного активного сопротивления первого контура на Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru и изменению его эквивалентного реактивного сопротивления на Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru . Следовательно, эквивалентное сопротивление симметричной системы двух связанных контуров, измеренное на входных зажимах «11» можно представить в виде: Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru , Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru . На собственной частоте Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru :

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru (6)

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru и Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru зависят от частоты сигнала (от расстройки Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru ). При Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru , Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru , а Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru , имеет максимальное значение. В зависимости от М Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru может быть как больше, так и меньше собственного активного сопротивления R первого контура.

Если Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru , связь называется критической.

Если Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru , связь слабая.

Если Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru , связь больше критической.

При критической связи Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru .

Умножив числитель и знаменатель левой части на L2, получим:

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru

Количественно связь между контурами характеризуется коэффициентом связи Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru . При одинаковых контурах L1=L2=L, Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru определяет, какая доля собственного магнитного потока катушки первого контура проходит через катушку второго. При критической связи Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru .

Найдём резонансные частоты системы из условия равенства нулю её реактивного сопротивления Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru .

В последнее уравнение подставим (6), учтём, что Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru , а Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru , получим:

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru (7)

Получили уравнение (7) третьей степени относительно Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru . Корни этого уравнения

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru .

При связи меньше критической ( Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru ) корни Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru мнимые и не имеют физического смысла. Следовательно, при Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru система имеет одну резонансную частоту Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru , определяемую действительным корнем ( Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru ). При Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru все три корня равны 0, система в этом случае имеет одну резонансную частоту Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru . При Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru все три корня уравнения (7) действительны и, значит, система имеет три резонансных частоты, одна из которых Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru , а две другие

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru .

Частоты Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru называют частотами связи, или нормальными частотами системы.

Для связанных контуров при Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru можно получить фильтр с более широкой полосой пропускания по сравнению с одиночным контуром и амплитудно-частотную характеристику, близкую к идеальной П-образной.

Определим значение коэффициента передачи. Для этого подставим Im2 из (4) в (1), получим:

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru (8)

Преобразуем знаменатель (8), учитывая, что расстройка Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru и Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru , тогда:

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru

Подставим последнее выражение в (8):

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru .

Откуда

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru (9)

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru На рис. 24 приведено семейство зависимостей K( Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru ), описываемых уравнением (9) для различных значений Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru .

При Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru .

Ширина полосы пропускания связанных контуров определяется также, как и для одиночного:

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru или Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru .

Отсюда Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru . Тогда относительная полоса пропускания при критической связи (кривая 2, рис. 24) Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru в Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru раз больше, чем у одиночного контура.

При Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru амплитудно-частотная характеристика не имеет провала при Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru (кривая 1, рис. 24). При слабой связи ( Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru )

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru .

Отсюда Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru .

Таким образом, при слабой связи полоса пропускания связанных контуров уже, чем у одиночного контура.

При Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru амплитудно-частотная характеристика становится двугорбой, с провалом при Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru (кривая 3, рис. 24). Оптимальным считается такое значение Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru , при котором коэффициент передачи в минимуме К(0) в Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru раза меньше, чем в максимуме Kmax.

В этом случае можно составить два уравнения:

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru (10а)

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru (10б)

Учитывая, что при Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru модуль коэффициента передачи К на частотах связи Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru не зависит от Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru и равен модулю коэффициента передачи при критической связи и Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru , получим:

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru .

Откуда

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru (11)

Подставим (11) в (9), и учитывая (10а), получим:

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru .

Отсюда

Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru .

Следовательно, в оптимальном случае Связанные контуры как полосовой фильтр - student2.ru , а полоса пропускания фильтра связанных контуров примерно втрое шире, чем у одиночного контура-фильтра.

Глава 5.

Электронные приборы.

Наши рекомендации