Критерий устойчивости Найквиста

В 1932 г. американский ученый Г. Найквист вывел критерий, который дает необходимые и достаточные условия устойчивости систем с обратной связью. Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по характеристике (годографу) разомкнутой системы.

Пусть – передаточная функция разомкнутой системы -го порядка, для которой граница устойчивости определятся точкой с координатами . Тогда для замкнутой системы с передаточной функцией точка границы устойчивости сместится по оси абсцисс влево на единицу, и ее координатами будут .

Для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии, критерий Найквиста формулируется следующим образом: для того чтобы устойчивая разомкнутая система оставалась устойчивой в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годограф комплексной частотной характеристики разомкнутой системы не охватывал точку с координатами при изменении частоты в пределах .

Термин «не охватывает точку» означает, что приращение угла поворота вектора, проведенного из точки с координатами к годографу, при изменении частоты в указанных пределах принимает нулевое значение . В противном случае, если , считают, что годограф точку охватывает.

Годограф Найквиста для различных типов разомкнутых систем представлен на рисунке 2.1.

а) замкнутая система устойчива б) замкнутая система неустойчива

Рисунок 2.1 – Годограф Найквиста устойчивой разомкнутой системы

В соответствии с критерием Найквиста об устойчивости замкнутой системы можно судить не только по годографу, но и совместно по АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы. Устойчивость будет иметь место, если при граничной частоте, на которой абсолютное значение фазы разомкнутой системы равно , амплитудная частотная характеристика будет меньше единицы: при

.

Из критерия Найквиста следует, что нахождение замкнутой системы на границе устойчивости соответствует прохождению годографа разомкнутой системы через точку с координатами .