Пуассоновские потоки событий и непрерывные марковские цепи

Рассмотрим некоторую физическую систему S с дискретными состояниями S₁, S₂, ..., S_n, которая переходит из состояния в состояние под влиянием каких-то случайных событий, например, вызовы на телефонной станции и т.д.

Будем себе это представлять так, будто события, переводящие систему из состояния в состояние, представляют собой какие-то потоки событий (вызовов, отказов и т.д.).

Пусть система S в момент t находится в состоянии S_i и может перейти из него в состояние S_j под влиянием какого-то пуассоновского потока событий с интенсивностю l_ij: как только появляется первое событие этого потока, система мгновенно переходит (перескакивает) из S_i в S_j. Как мы знаем, вероятность этого перехода за элементарный промежуток времени Dt равна l_ijDt. Таким образом, плотность вероятности перехода l_ij в непрерывной цепи Маркова представляет собой не что иное, как интенсивность потока событий, переводящего систему в соответствующее состояние.

Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние, пуассоновские, то процесс, протекающий в системе, будет марковским. Действительно, пуассоновский поток обладает отсутствием последействия, поэтому, при заданном состоянии системы в данный момент, ее переходы в другие состояния в будущем обусловлены только появлением каких-то событий в пуассоновских потоках, а вероятности появления этих событий не зависят от "предыстории" процесса.

Итак, рассматривается система S, в которой переходы из состояния в состояние происходят под действием пуассоновских потоков событий с определенными интенсивностями. Проставим эти интенсивности (плотности вероятностей переходов) на графе состояний системы у соответствующих стрелок. Получим размеченный граф состояний, по которому можно сразу записать дифференциальные уравнения Колмогорова.

Пример 1. Система состоит из двух узлов, каждый из которых выходит из строя с интенсивностью l₁ и l₂ соответственно. Каждый узел независимо и сразу начинает восстанавливаться с интенсивностью l. Написать уравнения Колмогорова при условии, что в начальный момент система работает исправно.

Пример 2. Группа в составе пяти самолетов в строю "колонна" совершает налет на территорию противника. Передний самолет (ведущий) является постановщиком помех; до тех пор, пока он не не сбит, идущие за ним самолеты не могут быть обнаружены и атакованы средствами ПВО противника. Атакам подвергается только постановщик помех. Поток атак - пуассоновский, с интенсивностью l(атак/час). В результате атаки потановшик помех поражается с вероятностью р.

Если постановщик помех сбит, то следующие за ним самолеты обнаруживаются и подвергаются атакам ПВО; на каждый из них (до тех пор, пока не будет поражен) направляется пуассоновский поток атак с интенсивностью l; Каждой атакой самолет поражается с вероятностью р. Когда самолет поражен, атаки по нему прекращаются, но на другие другие самолеты не переносятся.