Пуассоновские потоки заявок

3.1. Непрерывные и дискретные случайные величины

Рис. 3.1 Случайный поток заявок

J - непрерывная случайная величина, которая может принимать любые (в частном случае) положительные значения.

Рис. 3.2 Гистограмма

Предположим, что проведено N измерений величины J_k, k=1,2..N.. Число n(J, DJ) показывает, сколько раз интервал времени J_k попал в интервал от J до (J +DJ).

Величина n(J, DJ)/N показывает долю измерений, в которых величина J_k находится в пределах интервала J£J_k£(J+DJ). В случае стационарного процесса, при увеличении числа измерений, это отношение стремится к постоянному значению, определяющему вероятность попадания величины J_k в интервал J£J_k£(J+DJ).

,

(3.1)

Определим плотность вероятности, приходящуюся на единицу интервала DJ. Не трудно заметить, что величина n(J, DJ) уменьшается пропорционально уменьшению интервала DJ. Поэтому, плотность распределения вероятностей стремится к своему предельному значению (3.2).

,

(3.2)

Вероятность того, что J£t определяет функцию распределения вероятностей (3.3).

,

(3.3)

Если поток заявок представленных на рис. 3.1 является простейшим (удовлетворяется условие стационарности и отсутствия взаимного влияния заявок), то плотность распределения интервалов между соседними заявками определяется соотношением (3.4), где выражение (3.5) - математическое ожидание (первый начальный момент интервалов между заявками), (3.6) - второй начальный момент, (3.7) - D_J - дисперсия случайной величины J.

Для простейшего потока заявок справедливо соотношение (3.8).

,	(3.4)
	(3.5)
	(3.6)
	(3.7)
	(3.8)

Величина l, обратная , представляет среднее число заявок, поступающих в единицу времени, и называется параметром интенсивности потока.

Поток, представленный на рис. 3.1 можно охарактеризовать другой случайной величиной - n(t), которая представляет случайное число заявок, поступающих в течении постоянного времени t. Для стационарного потока, расположение интервала t на оси времени не имеет значения. Величина n(t) является дискретной, n_i(t)=0,1,2 целые числа. На рис. 3.3 ось времени разбита на равные интервалы t и указаны числа заявок n_i(t), попавшие в указанные интервалы.

Рис. 3.3

Интервалы, содержащие одинаковые числа заявок объединяются в группы и определяются числа элементов в каждой группе. Так, например, группа, содержащая по 3 заявки, включает 4 элементарных интервала t, а группа, содержащая 4 заявки, состоит из двух элементов. Группы, содержащие по 5 и более заявок, отсутствуют, т.е. содержат 0 элементов.

Числа заявок n_i(t), поступивших за интервалы времени и числа k_i(t) в каждой из групп показаны в таблице 4.

Таблица 4.

Число элементов в группе	ki(t)									…
Число заявок на интервале	ni(t)									…

На рис.3.4 показана соответствующая гистограмма

Рис. 3.4 Гистограмма

Обозначим суммарное число элементов, содержащееся во всех группах, через K(t) и назовем его нормирующим коэффициентом.

,

(3.9)

Вероятности поступления в течении интервала времени t ровно n(t) заявок, определяются соотношением P_n(t)=k_n(t)/K(t). В рассматриваемом интервале K(t)=10, а соответствующее распределение вероятностей показано на рис. 3.5.

Рис. 3.5 Распределение вероятностей числа заявок на интервале t

Очевидно, что сумма значений всех вероятностей равна единице.

Функция распределения вероятностей F_n(t) определяет вероятность того, что число заявок i поступивших в течение интервала времени t, окажется меньше или равно n.

,

(3.10)

Естественно, что указанная вероятность, при достаточно большом значении числа заявок n, стремится к единице.

Для случайной переменной n(t) определим математическое ожидание , второй начальный момент и дисперсию D_n(t).

Для распределения вероятностей, представленного на рис. 3.5:

.

Для простейшего потока, имеющего экспоненциальное распределение интервалов между заявками, распределение вероятностей P_n(t) подчиняется закону Пуассона.

(3.11)

Где - математическое ожидание числа заявок на интервале t.

Не трудно показать, что для закона Пуассона выполняется равенство (3.12) , то есть, отношение дисперсии к математическому ожиданию равно единице.

(3.12)

Если, в течении интервала времени , в среднем поступает заявок, то средний интервал между заявками определяется, как (3.13), а параметр интенсивности потока (3.14) для потока любого вида.

,	(3.13)
,	(3.14)

При этом, закон Пуассона может быть представлен в обычном виде

,	(3.15)
,	(3.16)
=1,	(3.17)

С учетом обозначения (3.16), значение v_n²(t) уменьшается обратно увеличению интервала времени t, а соотношение (3.17) всегда справедливо.