Көпжақтар қимасы және оны салу барысында жіберілетін қателіктер

Көпжақтарды жазықтықпен қиғанда алынатын жазық қималарды салу мектеп геометрия пәнiнiң стереометрия курсында жиi кездеседi. Көпжақтардың жазық қималары есеп шығару барысында, көпжақтың өзiне емес оның кескiнiне жүргiзiледi. Олай болса, көпжақтардың жазық қималарын салу есептерін шығару алдымен көпжақтың өзін кескіндеуден басталатын - проекциялық сызбаларда орындалатын салу есептерi болып табылады. Сондықтан жазық қималар салу барысында параллель (центрлік) проекциялау қасиеттерiн негізге алып отыру қажет.

Көпжақтар қималарын салу есептерi негiзiнен мынадай екi бөлiктен тұрады:

1. Қиманы салу.

2. Қимаға қатысты алынған қандайда бiр қатынастарды есептеу.

Мұндағы есептiң бiрiншi бөлiгi дұрыс орындалмаған жағдайда, яғни iзделiндi жазық қима дұрыс салынбаса, онда есептiң екiншi бөлiгi де дұрыс нәтиже беруi қиын.

Көпжақтарды жазықтықпен қиғандағы қиманы салу дегенiмiз - берiлген жазықтықтың көпжақ жақтарынан қиятын кесiндiлерiн анықтау. Демек, қиюшы жазықтықтың көпжақ қырларынан қиятын нүктелерiн тауып, оларды сәйкес жақтарында кесiндiлермен қосу. Сонда табылған нүктелер - алынған қиманың төбелерi, ал кесiндiлер - қиманың қабырғалары болады.

Қима салынуы қажет есептердiң өзiн екiге бөлуге болады:

1. Берiлген қиюшы жазықтықпен қиғандағы жазық қиманы салу есептерi;

2. Қажеттi қима салынып қойылған деп ұйғарылатын есептер.

Бiрiншi түрдегi есептердi шығарғанда қиманы салу барысында орындалған әрбiр салу үрдiсi сипатталып отырады. Оны салу есептерiн орындаудың толық схемасы бойынша (талдау, салу, дәлелдеу, зерттеу) немесе (қарапайым жағдайларда) ықшамдатылған схема түрiмен (мысалы, талдау жасалмай, салу дәлелдеумен бiрге орындалады) жүргiзiледi.

Ал екiншi түрдегi есептердi шығару сәл басқа түрде орындалады. Егер берiлген көпжақ пен оның қимасын кескiндеуге бес параметрден аз пайдаланылса, онда жүргiзiлген салулар сипатталмайды (бiрақ есептi шығару үшiн қиманы салу қажеттi); егер барлық қажеттi бес параметр қиманы салмай тұрып жаратылып қойылған болса, онда қиманы кескiндеуде орындалған әрбiр салу (метрикалық анықталған кескiнде) сипатталып отырады.

Егер берiлген көпжақтың кескiнi толық болса, онда көпжақ кескiнiде кез-келген позициялық есептi шығаруға болады. Сондықтан бiрiншi түрдегi есептi шығару үшiн, яғни көпжақтың қиюшы жазықтықпен қиғандағы қимасын салу үшiн, берiлген көпжақ кескiнi толық болуы қажеттi. Сондай-ақ, екiншi түрдегi есепте де берiлген көпжақ пен оның қимасының кескiнi толық болуы керек. Сонымен қатар қима салу барысында тек позициялық салулармен шектеле ме немесе метрикалық салуларды орындауды да қажет етедi ме алдын-ала белгiсiз болады. Сондықтан да, кейде салудың параметрлiк санын есептеу қажет болады.

Қиюшы жазықтық әр түрлi болып берiлуi мүмкiн. Атап айтқанда:

1. Үш нүкте (түзу және одан тысқары нүкте, қиылысатын екi түзу немесе параллель екi түзу) арқылы өтетiн жазықтықпен;

2. Екi нүкте немесе бiр түзу арқылы өтiп, берiлген түзуге параллель жазықтықпен;

3. Бiр нүкте арқылы өтетiн және берiлген жазықтыққа параллель жазықтықпен;

4. Бiр нүкте арқылы өтетiн және берiлген түзуге немесе жазықтыққа белгiлi бiр бұрыш жасайтын жазықтықпен;

Осындай әр түрлi тәсiлдермен берiлген жазықтықпен қиғандағы көпжақ қималарын салу үшiн, мынадай тәсiлдер пайдаланылады:

1) Қиюшы жазықтық iзi тәсiлi;

2) Iштей проекциялау тәсiлi;

3) Құрама тәсiл.

Қиюшы жазықтықтың iзi әдiсiнде көпжақтың төменгi табанын қамтитын жазықтықта (негiзгi жазықтықта) қиюшы жазықтықтың iзi (қиюшы жазықтықпен қиылысу сызығы) анықталып, сол арқылы қиюшы жазықтықтың көпжақ қырларынан қиятын нүктелерi мен жақтарынан қиятын кесiндiлерiн оңай салуға болады.

lштей проекциялау әдiсiнде iзделiндi қиманың сәйкес нүктелерi көпжақтың төменгi табанында анықталып, қима нүктелерiмен бiр мәндi сәйкестендiрiледi. Бұл тәсiлдi қиюшы жазықтық iзiн салу күрделi немесе қиюшы жазықтық iзi берiлген фигурадан өте алысқа түсетiн болғанда және т.с.с. пайдаланған тиiмдi.

Құрама әдiстi пайдаланып көпжақтар қимасын салу барысында, салудың кейбiр кезеңдерiнде қиюшы жазықтық iзi әдiсiнде немесе iштей проекциялау әдiсiнде баяндалған тәсiлдер қолданылса, ал басқа кезеңдерiнде “Түзулер мен жазықтықтардың параллелдiгi” тарауында оқытылған теоремалар пайдаланылады.

Бұл тәсiлдердi пайдаланып, көпжақ қимасын салу барысында көпжақ жақтарын қамтитын әрбiр жазықтықтан қиюшы жазықтыққа тиiстi екi нүктенi анықтау қажет. Анықталған екi нүкте арқылы, түзу жүргiзу арқылы көпжақ қырларынан қиятын нүктелер табылады. Осы нүктелердi кесiндiлермен қосып, iзделiндi қима салынады. Бұл салулардың барлығы кеңiстiктегi сәйкес аксиомалар мен теоремаларға негiзделiп жүргiзiледi.

Көпжақ қимасын салу барысында тәжiрибе нәтижесi көрсеткендей мынадай қателер жиi жiберiледi.

Мысалы, АBCDA₁B₁С₁D₁ кубын С,N,D₁ нүктелерi арқылы өтетiн жазықтықпен қиғандағы қиманы салу.

Мұнда оқушылар берiлген нүктелердi кесiндiлермен қосып CD₁N “қимасын” алған (93-сурет). Ал, шындығында мұндағы ND₁ кесiндiсi кубтың жағында емес, iшiнде жатыр. Яғни, кубтың ABB₁A₁ және AA₁D₁D жақтарын қиғанда алынатын кесiндiлер салынбаған. Қима салу есептерiн шығару барысында осындай қателердi болдырмау үшiн, алынған қиманың әрбiр қабырғасы көпжақтың қандайда бiр жағында жатуы керектiгiн ашып көрсету керек.

Сол сияқты ABCDA₁B₁C₁D₁ төртбұрышты призманың бүйiр қырларында жатқан P, Q, R нүктелерi арқылы өтетiн жазықтық арқылы алынатын қиманы салу қажет болсын (94-сурет).

Мұндай қиманы салуда оқушылар, көбiнесе төртiншi F нүктесiн еркiнше салып мынадай қате жiбередi. Егер ол нүкте дұрыс алынған болса, онда PR және QF диагоналдары ОО₁ түзуiмен бiр нүктеде қиылысуы қажет едi. Өйткенi бұл призманың табандарының диагоналдары арқылы өткен жазықтықтар ОО₁ түзуi бойымен қиылысады. Сондықтан сәйкесiнше сол жазықтықтарда жатқан PR және QF түзулерiнiң де О₂ қиылысу нүктесi ОО₁ түзуiне тиiстi болуы керек. Олай болса қиманың төртiншi төбесi N нүктесi болады. Демек, берiлген қиманы салу барысында оның төбелерiн ешбiр ережесiз еркiн белгiлеу нәтижесi, осындай қателердiң жiберiлуiне әкелiп соқтырады.