Интегральная и дифференциальная функции распределения. Вероятность попадания в заданный интервал

Одним из наиболее часто встречающихся распределений является нормальное распределение. Оно играет большую роль в теории вероятностей и занимает среди других распределений особое положение.

Так как нормальному закону подчиняются только непрерывные случайные величины, то это распределение можно задать в виде плотности распределения вероятности.

Интегральная и дифференциальная функции распределения. Вероятность попадания в заданный интервал - student2.ru Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону), если плотность распределения вероятности f(x) имеет вид

Интегральная и дифференциальная функции распределения. Вероятность попадания в заданный интервал - student2.ru

где а и s—некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения.

Функция распределения F(x) в рассматриваемом случае принимает вид

Интегральная и дифференциальная функции распределения. Вероятность попадания в заданный интервал - student2.ru

Параметр а- есть математическое ожидание НСВХ, имеющей нормальное распределение, s - среднее квадратическое отклонение, тогда дисперсия равна

Интегральная и дифференциальная функции распределения. Вероятность попадания в заданный интервал - student2.ru

Выясним геометрический смысл параметров распределения а и s. Для этого исследуем поведение функции f(x). График функции f(x) называется нормальной кривой.

Интегральная и дифференциальная функции распределения. Вероятность попадания в заданный интервал - student2.ru Рассмотрим свойства функции f(x):

1°. Областью определения функции f(x) является вся числовая ось.

2°. Функция f{x) может принимать только положительные значения, т. е. f(x}>0.

3°. Предел функции f(x) при неограниченном возрастании |х| равен нулю, т. е. ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика функции.

4°. Функция f{x) имеет в точке х = a максимум, равный

Интегральная и дифференциальная функции распределения. Вероятность попадания в заданный интервал - student2.ru

5°. График функции f(x) симметричен относительно прямой х = а.

6°. Нормальная кривая в точках х = а +s имеет перегиб,

Интегральная и дифференциальная функции распределения. Вероятность попадания в заданный интервал - student2.ru

На основании доказанных свойств построим график плотности нормального распределения f(x).

Интегральная и дифференциальная функции распределения. Вероятность попадания в заданный интервал - student2.ru

Как видно из рисунка, нормальная кривая имеет колоколообразную форму. Эта форма является отличительной чертой нормального распределения. Иногда нормальную кривую называют кривой Гаусса.

При изменении параметра а форма нормальной кривой не изменяется. В этом случае, если математическое ожидание (параметр а) уменьшилось или увеличилось, график нормальной кривой сдвигается влево или вправо .

Интегральная и дифференциальная функции распределения. Вероятность попадания в заданный интервал - student2.ru

При изменении параметра s изменяется форма нормальной кривой. Если этот параметр увеличивается, то максимальное значение функции f(x) убывает, и наоборот. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, должна быть постоянной и равной 1, то с увеличением параметра кривая приближается к оси Ох и растягивается вдоль нее, а с уменьшением s кривая стягивается к прямой х=а .

Интегральная и дифференциальная функции распределения. Вероятность попадания в заданный интервал - student2.ru

Использование формул f(x) и F(x) для практических расчетов затруднительно. Но решение задач по этим формулам можно упростить, если от нормального распределения с произвольными параметрами а и s перейти к нормальному распределению с параметрами а=0, s = 1.

Интегральная и дифференциальная функции распределения. Вероятность попадания в заданный интервал - student2.ru Функция плотности нормального распределения f(x) с параметрами а=0, s =1 называется плотностью стандартной нормальной случайной величины и ее график имеет вид:

Интегральная и дифференциальная функции распределения. Вероятность попадания в заданный интервал - student2.ru

Функция плотности и интегральная функция стандартной нормальной СВ будут иметь вид:

Интегральная и дифференциальная функции распределения. Вероятность попадания в заданный интервал - student2.ru

Для вычисления вероятности попадания СВ в интервал (a, b) воспользуемся функцией Лапласа: Интегральная и дифференциальная функции распределения. Вероятность попадания в заданный интервал - student2.ru

Перейдем к стандартной нормальной случайной величине

Интегральная и дифференциальная функции распределения. Вероятность попадания в заданный интервал - student2.ru

Тогда

Интегральная и дифференциальная функции распределения. Вероятность попадания в заданный интервал - student2.ru

Значения функции Ф(u) необходимо взять из таблицы приложений "Таблица значений функции Ф(х)"

Библиография.

[1] РМГ 29-99 «Метрология. Основные термины и определения»

[2] ГОСТ 8.009-84 «Нормируемые метрологические характеристики средств измерений»

[3] ГОСТ 8.401-80 «Классы точности средств измерений. Общие требования».

[4] ГОСТ 8.050-73 «Нормальные условия выполнения линейных и угловых измерений»

[5] Яворский Б. М. Физика: Для школьников старших классов и поступающих в вузы.\: Учеб. пособие – М.: Дрофа, 2002 – 800с.

[6] Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. М.: Айрис-пресс, 2004. - 288 с.

Наши рекомендации