Коэффициент магнитной проводимости лобового рассеяния

λ_л = 0,34 (l_л – 0,64 β τ ) (9.159)

где q и l_л — число пазов на полюс и фазу и длина лобовой части витка обмотки; β = у_расч / τ — укорочение шага обмотки, для которой прово­дится расчет, т. е. обмотки статора или фазного ротора.

Коэффициент магнитной проводимости дифференциального рассеяния для обмоток статора и фазного ротора

(9.160)

Значение коэффициента ξ зависит от числа q, укорочения шага обмотки и размерных соотношений зубцовых зон и воздушного зазора.

Ниже приводятся формулы, в которые при расчете ξ, для обмо­ток статора или ротора следует подставлять данные обмоток и зубцовых зон соответственно статора или ротора.

Для обмоток статора и ротора при q, выраженном целым чис­лом (q ≥ 2), для обмотки с β = 1

ξ = 2 + 0,022 q² – k²_об(1 + Δz); (9.161)

при укороченном шаге обмотки (β < 1)

ξ = k''q² + k'_β – k²_об(1 + Δz); (9.162)

при дробном (q ≥ 2)

ξ = k''q² + 2k''_β – k²_об( + Δz); (9.163)

при дробном q, значение которого 1 < q < 2,

ξ = k''q² + 2k''_β – – k²_об( + Δz); (9.164)

В этих формулах коэффициенты Δz, k', k" и k"_β определяют по кривым, приведенным на рис. 9.51. Для определения k"_β и k' необ­ходимо найти дробную часть числа q, равную c/d (дробное число q = b + c/d, где b — целое число, c/d < 1 — дробная часть числа q), коэффициент k'_β — по (9.156) или (9.157).

Индуктивное сопротивление обмотки фазного ротора, опреде­ленное по (9.152), должно быть приведено к числу витков обмотки статора:

х'₂ = v₁₂ x₂, (9.165)

где v₁₂ — коэффициент приведения сопротивлений по (9.151).

9.10.3. Сопротивления обмоток двигателей с короткозамкнутыми роторами

Активное сопротивление фазы обмотки статора двигателя с короткозамкнутым ротором рассчитывается так же, как и для двигате­ля с фазным ротором.

Активное сопротивление фазы короткозамкнутого ротора опреде­ляется следующим образом. Как говорилось выше, за фазу обмотки, выполненной в виде беличьей клетки, принимают один стержень и два участка замыкающих колец (см. рис. 9,35). Токи в стержнях и за­мыкающих кольцах различны, поэтому их сопротивления при рас­чете общего сопротивления фазы должны быть приведены к одному току. Таким образом, сопротивление фазы короткозамкнутого ро­тора r₂ является расчетным параметром, полученным из условия равенства электрических

Рис. 9.51. Коэффициенты к расчету проводимости

дифференциального рассеяния:

а — коэффициент Δz в зависимости от размерных соотношений b_ш/t_z и b_ш/S;

б — коэффициент k' в зависимости от дробной части числа q;

в — коэф­фициент К' в зависимости от укорочения шага обмотки β;

г — коэффициент К''_β в зависимости от укорочения шага обмотки β и дробной части чис­ла q;

д — коэффициент k'_ск в зависимости от соот­ношения t_z2/t_z1 и относительного скоса пазов β_ck

потерь в сопротивлении r₂ от тока I₂ и сум­марных потерь в стержне и участках замыкающих колец соответственно от тока в стержне I_c и тока в замыкающем кольце I_кл реальной машины:

(9.166)

где I_с — ток в стержне ротора; I_кл — ток в замыкающих кольцах; r_C — сопротивление стержня; r_кл — сопротивление участка замыка­ющего кольца, заключенного между двумя соседними стержнями (см. рис. 9.35).

Ток I_с называют током ротора и в расчетах обозначают I₂.

Учитывая, что

I_кл = I_с /Δ = I₂ /Δ, (9.167)

где Δ = 2sin — (см. § 9.7), из (9.167), получаем

r₂ = r_с + 2 (9.168)

где

r_c = ; (9.169)

r_кл = (9.170)

В этих выражениях I_с — полная длина стержня, равная расстоя­нию между замыкающими кольцами, м; D_кл._ср — средний диаметр замыкающих колец, м (см. рис. 9.37):

D_кл._ср = D₂ - h_кл; (9.171)

q_c — сечение стержня, м²; k_r — коэффициент увеличения активного со­противления стержня от действия эффекта вытеснения тока; при рас­чете рабочих режимов в пределах изменения скольжения от холостого хода до номинального для всех роторов принимают k_r = 1; q_кл — площадь поперечного сечения замыкающего кольца, м²; р_с и р_кл — соответственно удельные сопротивления материала стержня и замыкающих колец, Ом м, при расчетной температуре (см. табл. 5.1).

Сопротивление r₂ для дальнейших расчетов должно быть приве­дено к числу витков первичной обмотки. Выражение коэффициента приведения для сопротивления фазы короткозамкнутого ротора по­лучают, подставляя в (9.151) значения m₂ = Z₂, w₂ = 1/2, k_об2 = 1 и учитывая влияние скоса пазов:

(9.172)

где коэффициент скоса пазов (по 3.17)

k_ск = 2 sin ;

Обычно значения β_ск выражают в долях зубцового деления ротора t_z2. При скосе пазов ротора на одно зубцовое деление стато­ра γ_ck = π2p / Z₁. В этом случае в двигателях с 2р = 2 из-за малости угла γ_ck принимают k_cк = 1.

Приведенное значение активного сопротивления фазы обмотки короткозамкнутого ротора

r'₂ = r₂ v₁₂. (9.173)

Индуктивное сопротивление рассеяния обмотки статора асинх­ронного двигателя с короткозамкнутым ротором рассчитывается по той же формуле, что и для статора с фазными роторами, т. е.

x = 1,58 (9.174)

Входящий в формулу коэффициент магнитной проводимости пазового рассеяния λ_п определяют в зависимости от конфигурации пазов по формулам табл. 9.26.

Коэффициент магнитной проводимости лобового рассеяния λ_л определяется по (9.159).

Коэффициент магнитной проводимости дифференциального рассеяния λ_д1 определяют по формуле

(9.174а)

в которой ξ, находят следующим образом.

При открытых пазах статора и отсутствии скоса статора или ротора

(9.175)

При полузакрытых или полуоткрытых пазах статора с учетом скоса пазов

(9.176)

В этих формулах t_z1 и t_z2 — зубцовые деления статора и ротора; Δ_Z определяют по кривой рис. 9.51, a, k_β определяют по (9.155) или (9.158); β_cк = β_cк/t_z2 — скос пазов, выраженный в долях зубцового деления ротора. При отсутствии скоса пазов b_ск = 0; k'_cк определяют по кривым рис. 9.51, д в зависимости от t_z2/t_z1 и β_cк (при отсутствии скоса пазов — по кривой, соответствующей β_ск = 0).

Индуктивное сопротивление обмотки короткозамкнутого ротора определяют по формуле

(9.177)

полученной после подстановки в (9.152) значений m₂ = Z₂ и q₂ = 1/(2р) обмотки короткозамкнутого ротора и введения дополнительного слагаемого λ_ск.

Коэффициент магнитной проводимости пазового рассеяния обмотки короткозамкнутого ротора рассчитывают по приведенным в табл. 9.27 формулам в зависимости от конфигурации паза ротора (рис. 9.52).

Таблица 9.27. Расчетные формулы для определения коэффициентов

магнитной проводимости пазового рассеяния короткозамкнутых роторов

Рисунок	Расчетные формулы
9.52, а
9.52,6
9.52, в
9.52, г
9.52, д

При расчете номинального режима двигателя во всех формулах k_д= 1.

При закрытых пазах ротора любой конфигурации (рис. 9.52, а—д) в расчетных формулах табл. 9.27 нужно при шлицах по рис. 9.52, е слагаемые h_ш /b_ш заменить на 0,3 + 1,12 • 10⁶ , по рис. 9.52, ж — на h_ш/b_ш + 1,12 • 10⁶ , где — толщина ферромагнит­ной перемычки над пазом, м; I₂ — ток ротора, А.

Рис. 9.52. К расчету коэффициентов магнитной проводимости

пазового рассеяния короткозамкнутых роторов:

а — д — полузакрытые пазы; е, ж — закрытые пазы

Коэффициент магнитной проводимости лобового рассеяния рассчитывают в зависимости от размеров и расположения замыкающих колец обмотки по следующим формулам.

В роторах с литыми обмотками при замыкающих кольцах, прилегающих к торцам сердечника ротора (см. рис. 9.37, б), используют формулу

(9.178)

Если замыкающие кольца отставлены от торцов ротора (см. рис. 9.37, а), как, например, в обмотке, выполненной из медных или латунных стержней, впаянных в замыкающие кольца, расчет прово­дят по формуле

(9.179)

В этих формулах D_кл.ср — средний диаметр замыкающих колец по (9.171); Δ = 2 sin πρ/Z₂ — коэффициент приведения токов в кольце к току в стержне; h_кл и b_кл — средние высота и ширина колец (см. рис. 9.37); ; — по (9.154).

Коэффициент магнитной проводимости дифференциального рассеяния обмотки, короткозамкнутого ротора

(9.180)

где

(9.181)

Δ_Z находят по кривым рис. 9.51, а.

Как видно из (9.181), при большом числе пазов ротора, приходя­щихся на пару полюсов: Z₂/p ≥ 10, без заметной погрешности можно принять ξ = 1.

Коэффициент проводимости скоса, учитывающий влияние на ЭДС обмотки ротора скоса пазов,

, (9.182)

где β_ск — скос пазов, выраженный в зубцовых делениях ротора. При скосе пазов на одно зубцовое деление ротора β_ск = 1; k_μ — коэффициент насыщения магнитной цепи (по 9.129).

Приведенное к числу витков обмотки статора индуктивное со­противление обмотки короткозамкнутого ротора

х'₂ = х₂ γ₁₂ (9.183)

где v₁₂ — по (9.172).

Сопротивление схемы замещения r_μ (см. рис. 9.47, а) является расчетным. Введением его в схему замещения учитывают влияние потерь в стали статора на процессы в асинхронной машине, поэтому значение сопротивления r_μ должно быть принято таким, чтобы выделяющаяся в нем активная мощность была равна мощности, затрачиваемой на потери в стали в реальной машине и отнесенной к одной фазе. Таким образом, r_μ = Р_СТ/(m I²_0a ), так как активные потери в стали определяются активной составляющей тока холостого хода ,I_0а. Из схемы замещения r_μ = где .

Сопротивление взаимной индукции обмоток статора и ротора x_μ по схеме замещения может быть определено как x_μ = Е₁\I_μ.

В расчетной практике параллельное включение сопротивлений r_μ и х_μ оказалось удобнее заменить последовательно включенными сопротивлениями r₁₂ и х₁₂ (см. рис. 9.47, 6), значения которых опре­деляют из условия

откуда

и

Так как в асинхронных машинах r_μ ≤ x_μ, то х₁₂ ≈ х_μ, а r₁₂ << х₁₂. В связи с этим значение r₁ не играет заметной роли при анализе процессов в машине, и в расчетах им часто пренебрегают.

Сопротивления r₁ и х₁₂ с достаточной для обычных расчетов точностью определяют по следующим формулам:

r₁₂ = P_cт.осн / (m I²_μ) ; (9.184)

(9.185)

9.10.4. Относительные значения параметров

Для удобства сопоставления параметров отдельных машин и упрощения расчета характеристик параметры асинхронных машин выражают в относительных единицах, принимая за базисные значе­ния номинальное фазное напряжение и номинальный фазный ток статора.

Значения параметров, выраженные в относительных единицах, отмечают звездочкой:

(9.186)

Относительные значения одних и тех же параметров схемы замещения различных асинхронных двигателей нормального исполне­нии незначительно отличаются друг от друга.

Так, относительные значения индуктивных сопротивлений рассеяния обмотки статора и приведенного сопротивления обмотки ротора большей частью находятся в пределах х₁ = 0,08...0,14 и х'₂ = 0,1...0,16.

Относительные значения сопротивлений взаимной, индукции, как правило, в 30—40 раз больше, чем x_1*. Обычно х_12* = 2...4.

Относительные значения активных сопротивлений обмотки статора и приведенного сопротивления обмотки ротора близки друг к другу и обычно составляют несколько сотых долей: r_1* ≈ r'_2* ≈ 0,02... 0,03; лишь, в машинах малой мощности их значения несколько увеличиваются.

Сопротивление r_12* обычно составляет 0,05...0,2.

9.11. ПОТЕРИ И КПД

Потери в асинхронных машинах подразделяют на потери в стали (основные и добавочные), электрические, вентиляционные, меха­нические и добавочные при нагрузке.

Основные потери в стали в асинхронных двигателях рассчитыва­ют только в сердечнике статора, так как частота перемагничивания ротора, равная f₂ = s f₁, в режимах, близких к номинальному, очень мала и потери в стали ротора даже при больших индукциях незна­чительны [6].

В пусковых режимах f₂ близка к f₁ и потери в стали ротора соответственно возрастают, однако при расчете пусковых характеристик потери находят только для определения нагрева ротора за время пуска. Наибольшими потерями в пусковых режимах являются элект­рические потери в обмотках. Они во много раз превышают потери номинального режима, поэтому пренебрежение потерями в стали ротора при больших скольжениях не вносит сколько-нибудь замет­ной погрешности в расчет.

Основные потери в стали статоров асинхронных машин определяют в соответствии с (6.4) по следующей формуле:

Р_ст.осн = р_1,0/50 (9.187)

где p_1,0/50 — удельные потери (табл. 9.28) при индукции 1 Тл и частоте перемагничивания 50 Гц; β — показатель степени, учитывающий за­висимость потерь в стали от частоты перемагничивания; для боль­шинства электротехнических сталей β = 1,3...1,5; k_да и k_дz —коэффициенты, учитывающие влияние на потери в стали неравномерности распределения потока по сечениям участков магнитопровода и технологических факторов. Для машин мощностью меньше 250 кВт приближенно можно принять k_да = l,6 и k_дz = 1,8; для машин большей мощности k_да = 1,4 и k_дz = 1,7; В_а и В_z1ср— индукция в ярме и средняя индукция в зубцах статора, Тл; m_а, m_z1 — масса стали ярма и зубцов статора, кг:

m_a = π(D_a - h_a) h_a l_ст1 k_c1 γ_c ; (9.188)

m_z1 = h_z1b_z1ср Z₁ l_ст1 k_c1 γ_c ; (9.189)

h_а — высота ярма статора, м:

h_а = 0,5(D_a - D) – h_п1 ;

h_z1 — расчетная высота зубца статора, м; b_z1ср — средняя ширина зуб­ца статора, м:

b_z1ср = (b_z1max + b_z1min)/ 2 ;

γ_с — удельная масса стали; в расчетах принимают γ_с = 7,8 • 10³ кг/м³.

Таблица 9.28. Удельные потери в стали, Вт/кг, толщиной 0,5 мм

при индукции В = 1 Тл и частоте перемагничивания f = 50 Гц

Марка стали	Удельные потери, Вт/кг	Марка стали	Удельные потери, Вт/кг
	2,5		1,75
	2,2		1,3

Добавочные потери в стали (добавочные потери холостого хода) подразделяют на поверхностные (потери в поверхностном слое ко­ронок зубцов статора и ротора от пульсаций индукции в воздушном зазоре) и пульсационные потери в стали зубцов (от пульсации ин­дукции в зубцах).

Для определения поверхностных потерь вначале находят ампли­туду пульсации индукции в воздушном зазоре над коронками зуб­цов статора и ротора (рис. 9.53, а), Тл:

Рис. 9.53. К расчету поверхностных потерь в асинхронных машинах:

а — пульсация индукции в воздушном зазоре;

б — зависимость β₀ =f /(b_ш / S)

B₀₁₍₂₎ = β₀₁₍₂₎ k_δ B_δ. (9.190)

Для зубцов статора β₀₁ зависит от отношения ширины шлица пазов ротора к воздушному зазору: β₀₁ = f (b_ш2 / δ); для зубцов ротора — от отношения ширины шлица пазов статора к воздушно­му зазору: β₀₂ = f (b_ш1 / δ) . Зависимость β₀ = f (b_ш / δ) приведена на рис. 9.53, б.

По В₀ и частоте пульсаций индукции над зубцами, равной Z_2n для статора и Z_1n для ротора, рассчитывают удельные поверхност­ные потери, т. е. потери, приходящиеся на 1м² поверхности головок статора и ротора:

для статора

Р_пов1 = 0,5 k₀₁ (9.191)

для ротора

Р_пов2 = 0,5 k₀₂ (9.192)

В этих выражениях k₀₁₍₀₂₎ — коэффициент, учитывающий влияние обработки поверхности головок зубцов статора (ротора) на удель­ные потери; если поверхность не обрабатывается (двигатели мощ­ностью до 160 кВт, сердечники статоров которых шихтуют на цилиндрические оправки), то k₀₁₍₀₂₎ = 1,4...1,8, при шлифованных поверхностях (наружная поверхность роторов машин средней и большой мощности и внутренняя поверхность статора двигателей Р₂ > 160 кВт) k₀₁₍₀₂₎ = 1,7...2,0; n = n_c (1 - s) ≈ n_c — частота вращения двигателя, об/мин.

Полные поверхностные потери статора, Вт,

Р_пов.1 = p_пов.1 (t_z1 – b_ш1) Z₁ l_ст1. (9.193)

Полные поверхностные потери ротора, Вт,

Р_пов2 =p_пов2(t_z2 - b_ш2)Z₂ l_cт2. (9.194)

Для определения пульсационных потерь вначале находится амплитуда пульсаций индукции в среднем сечении зубцов В_пул, Тл:

для зубцов статора

В_пул1 = (9.195)

для зубцов ротора

В_пул2 = (9.196)

В этих формулах B_z1cp и B_z2cp — средние индукции в зубцах ста­тора и ротора, Тл:

(9.197)

При открытых пазах на статоре или на роторе при определении γ₁ и γ₂ в (9.197) вместо b_ш1 или b_ш2 подставляют расчетную ширину раскрытия паза, равную:

b'_ш1(2) = (9.198)

(индекс 1 при расчете b'_ш1, индекс 2 при расчете b'_ш2).

Значения коэффициента k_δ в зависимости от отношения δ_п/δ для открытых пазов приведены на рис. 9.54.

Пульсационные потери в зубцах статора

P_пул1 ≈ 0,11 ; (9.199)

пульсационные потери в зубцах ротора

P_пул2 ≈ 0,11 ; (9.200)

Рис. 9.54. К расчету пульсационных потерь

в асинхронных машинах

В этих формулах m_z1 — масса стали зуб­цов статора, кг, определяется по (9.189); m_z2 — масса стали зубцов ротора, кг:

m_z2 = Z₂ h_z2 b_z2ср l_ст2 k_c2 γ_c (9.201)

где h_z2 — расчетная высота зубца ротора, м; b_z2cp — средняя ширина зубца ротора, м:

b_z2cp = (b_z2max + b_z2min) / 2.

Поверхностные и пульсационные потери в статорах двигателей с и короткозамкнутыми или фазными роторами со стержневой обмоткой обычно малы, так как в пазах таких роторов b_ш2 мало и пульса­ции индукции в воздушном зазоре над головками зубцов статора незначительны. Поэтому расчет этих потерь в статорах таких двигателей не проводят.

В общем случае добавочные потери в стали

Р_стдоб = Р_пов1 + Р_пул1 + Р_пов2 + Р_пул2 (9.202)

и полные потери в стали асинхронных двигателей

P_ст = Р_ст.осн + Р_ст.доб. (9.203)

Обычно Р_ст.доб приблизительно в 5—8 раз меньше, чем Р_ст.осн.

Электрические потерн в асинхронных двигателях рассчитывают раздельно в обмотках статоров и роторов.

Электрические потери во всех фазах обмотки статора, Вт,

P_э1 = m₁ r₁. (9.204)

Электрические потери во всех фазах обмотки фазного ротора, Вт,

Р_э2 = m₂ r₂ = m₁ . (9.205)

Электрические потери в обмотке короткозамкнутого ротора, Вт,

P_э2 = m₂ r₂ = Z₂ r₂ (9.206)

или

Р_э2 = m₁ . (9.207)

Электрические потери в щеточном контакте Р_э.ш, Вт, фазных ро­торов асинхронных двигателей, не имеющих приспособлений для подъема щеток и замыкания накоротко контактных колец при но­минальном режиме работы,

Р_э.щ = m₂ ΔU_щ I_к.к, (9.208)

где ΔU_щ — падение напряжения в скользящем контакте щетка — коль­цо, В; принимается в зависимости от марки щеток по табл. П 4.2; I_к.к — ток в кольце, А; при соединении обмотки ротора в звезду I_к.к = I₂ ; при соединении обмотки ротора в треугольник (при m₂ = 3) I_к.к = I₂.

Механические и вентиляционные потери в асинхронных двигате­лях рассчитывают по приближенным формулам, полученным из опыта проектирования и эксплуатации двигателей. Коэффициент трения (К_т) учитывает конструкцию, скорость вращения, число пар полюсов, мощность двигателя. Его размерность изменяется в зависимости от вида формулы для определения Р_мех (9.209 — 9.213).

Потери на трение в подшипниках и вентиляционные потери в двигателях с радиальной системой вентиляции без радиальных вен­тиляционных каналов, с короткозамкнутым ротором и вентиляци­онными лопатками на замыкающих кольцах, Вт,

Р_мех ≈ К_т (n / 1000)² (10D)³ ; (9.209)

К_т = 5 при 2р = 2; К_т = 6 при 2р ≥ 4 для двигателей с D_a ≤ 0,25 м;

К_т = 6 при 2р = 2; К_т = 7 при 2р ≥ 4 для двигателей с D_a > 0,25 м.

В двигателей с двигателях с внешним обдувом (0,1 ≤ D_a ≤ 0,5 м)

Р_мех = К_т (n /10)² D⁴_a ; (9.210)

К_т = 1 для двигателей с 2р = 2 и К_т = 1,3(1 - D_a) при 2р ≥ 4.

В двигателях с радиальной системой вентиляции средней и боль­шой мощности

Р_мех = 1,2 2 р τ³ (n_к +1,1) 10³ (9.211)

где n_к — число радиальных вентиляционных каналов; при отсутствии радиальных каналов n_к = 0.

В двигателях с аксиальной системой вентиляции

Р_мех = К_т(n/1000)² (10 D_вент)³, (9.212)

где D _вент — наружный диаметр вентилятора, м; в большинстве кон­струкций можно принять D_вент ≈ D_a; K_т = 2,9 для двигателей с D_a ≤ 0,25 м; К_т = 3,6 для двигателей с D_a = 0,25...0,5 м.

В двигателях большой мощности (0,5 < D_a < 0,9 м)

Р_мех = К_т (10D_a)³ (9.213)

В этом выражении коэффициент К_т принимается по табл. 9.29.

Таблица 9.29. К расчету механических потерь

двигателей большой мощности

2p
Кт	3,65	1,5	0,7	0,35	0,2	0,2

Потери на трение щеток о контактные кольца, Вт, рассчитывают для двигателей с фазными роторами при отсутствии приспособле­ний для подъема щеток и закорачивания контактных колец в номи­нальном режиме работы:

Р_тр.щ = К_тр ρ_щ S_щ υ_к, (9.214)

где К_тр — коэффициент трения щеток о контактные кольца (обычно принимается равным 0,16—0,17); ρ_щ — давление на контактной поверхности щеток, кПа (см. табл. П 4.2); S_щ — общая площадь контакт­ной поверхности всех щеток, м²; v_k — линейная скорость поверхности контактных колец, м/с.

Добавочные потери при нагрузке асинхронных двигателей возникают за счет действия потоков рассеяния, пульсаций индукции в воздушном зазоре, ступенчатости кривых распределения МДС об­моток статора и ротора и ряда других причин. В короткозамкнутых роторах, кроме того, возникают потери от поперечных токов, т. е. токов между стержнями, замыкающихся через листы сердечника ротора. Эти токи особенно заметны при скошенных пазах ротора. В таких двигателях, как показывает опыт эксплуатации, добавоч­ные потери при нагрузке могут достигать 1...2 % (а в некоторых слу­чаях даже больше) от подводимой мощности. ГОСТ устанавливает редкие расчетные добавочные потери при номинальной нагрузке, равные 0,5 % номинальной потребляемой мощности. При расчетах потерь и КПД двигателей в режимах, отличных от номинального, значение добавочных потерь пересчитывают пропорционально квадрату токов:

Р_доб = Р_{доб.ном} (I₁/I_1ном)². (9.215)

Коэффициент полезного действия двигателя

η = Р₂ /P₁ = 1 - / P₁, (9.216)

где — сумма всех потерь в двигателе, Вт.

Ток холостого хода двигателя

(9.217)

При определении активной составляющей тока холостого хода принимают, что потери на трение и вентиляцию и потери в стали при холостом ходе двигателя такие же, как и при номинальном ре­жиме. При этом условии

I_х.х.а = (9.218)

Электрические потери в статоре при холостом ходе приближен­но принимаются равными:

Р_э1х.х = m I²_μ r₁. (9.219)

Реактивная составляющая тока холостого хода

I_х.х.р ≈ I_μ (9.220)

Коэффициент мощности при холостом ходе

cos φ_х.х = I_х.х.а / I_х.х. (9.221)

9.12. РАСЧЕТ РАБОЧИХ ХАРАКТЕРИСТИК

Рабочими характеристиками асинхронных двигателей называют зависимости P₁, I₁, cosφ, η, s₁ = f (P₂). Часто к ним относят также за­висимости М = f (P₂) и I₂ или = (P₂) [6].

Методы расчета характеристик базируются на системе уравне­ний токов и напряжений асинхронной машины, которой соответст­вует Г-образная схема замещения (рис. 9.55). Г-образная схема полу­чена из Т-образной схемы замещения (см. рис. 9.47), в которой ветвь, содержащая параметр Z₁₂, вынесена на вход схемы. Т-образ­ная и Г-образная схемы идентичны для данной конкретной ЭДС, для которой рассчитывают комплексный коэффициент , равный взятому с обратным знаком отношению вектора напряжения фазы к вектору ЭДС —

В асинхронных двигателях при изменении тока от синхронного холостого хода до номинального изменяется незначительно. Поэ­тому для получения рабочих характеристик коэффициент , рассчи­тывают для синхронного холостого хода и принимают его значение неизменным. Это не вносит заметных погрешностей в расчет харак­теристик, так как значение коэффициента , во всем диапазоне изме­нения нагрузки от Р₂ = 0 до Р₂ = Р_2ном изменяется лишь в третьем или четвертом знаке.

Корректировку коэффициента , обычно производят лишь при расчете пусковых характеристик или режимов работы двигателя с большими скольжениями, при которых ток статора существенно превышает номинальный.

Для расчета рабочих характеристик коэффициент определяют из выражения

Рис. 9.55. Г-образная схема замещения асинхронной машины (а)

и соответствующая ей векторная диаграмма (б)

где

(9.222)

В асинхронных двигателях мощностью более 2 — 3 кВт, как пра­вило, | γ | ≤ 1°, поэтому реактивной составляющей коэффициента с₁, можно пренебречь, тогда приближенно

(9.223)

При более точных расчетах определяют и активную, и реактив­ную составляющие c₁ по следующим формулам:

(9.224)

Полное значение

(9.225)

Как видно, выражение (9.223) может быть получено из (9.225) при условии r₁₂ << х₁₂ и r₁ << х₁₂, что практически всегда имеет место в асинхронных машинах мощностью Р₂ ≥ 2...3 кВт. При этих же условиях с_1p ≈ 0 и с_1a = с₁.

Рабочие характеристики можно рассчитать по круговой диаграмме или аналитическим методом. Расчет по круговой диаграмме более нагляден, но менее точен, так как требует графических построений, снижающих точность расчета. Аналитический метод более универсален, позволяет учитывать изменение отдельных пара­метров при различных скольжениях и может быть легко переведен на язык программ при использовании в расчетах ЭВМ.

Аналитический метод расчета. В настоящее время практически все расчеты проводят аналитическим методом. Формулы для расчета рабочих характеристик приведены в табл. 9.28 в удобной для руч­ного счета последовательности. Расчет характеристик проводят, задаваясь значениями скольжений в диапазоне s ≈ (0,2...1,5) s_ном. Но­минальное скольжение можно предварительно взять при s_ном ≈ . Для построения характеристик достаточно рассчитать значения требуемых величин для пяти - шести различных скольжений, выбранных в указанном диапазоне примерно через равные интервалы (см. при­мер расчета).

Перед началом расчета рекомендуется выписать значения посто­янных, не зависящих от скольжения величин, как это показано в формуляре и в примере расчета. К таким величинам относятся но­минальное напряжение фазы U_1ном, сопротивления r₁ и , сумма по­терь P_cт + P_мех (для двигателей с фазным ротором также Р_тр.щ) и со­ставляющие тока синхронного холостого хода: реактивная I_0р ≈ I_μ и активная, которую определяют из выражения

, (9.226)

Выписывается также значение коэффициента с₁, определенное по (9.223) или по (9.225), и расчетные величины, обозначенные в фор­муляре а, а', b и b' . Формулы для их определения зависят от приня­того (точного или приближенного) метода расчета с₁.

Если |у| ≤ 1°, то можно использовать приближенный метод, так как в этом случае c_1р ≈ 0 и с₁ ≈ 1 + х₁/х₁₂. Тогда

(9.227)

Если же расчет с₁ проводить по уточненным формулам (9.224) и (9.225), то

(9.228)

Расчет характеристик рекомендуется проводить в следующей по­следовательности.

Вначале находят активную и реактивную составляющие комп­лексного сопротивления правой ветви схемы замещения (см. рис. 9.55):

Z_ВЕТВИ = c₁(r₁ + jx₁) + j + , (9.229)

где

(9.229а)

Из (9.229) с учетом (9.227) или (9.228) получают

R = a' + а, (9.230)

X = b; (9.231)

. (9.232)

Далее находят (см. рис. 9.55)

и

Составляющие тока статора являются суммами активных и реактивных составляющих токов параллельных ветвей схемы замеще­ния:

(9.233)

Полный ток статора

(9.234)

Приведенный ток ротора

. (9.235)

Ход последующих расчетов ясен из приведенных формул в фор­муляре (табл. 9.30).

Таблица 9.30. Формуляр расчета рабочих характеристик асинхронных двигателей

Р_ном =…; 2р =…; U_1ном =….В; I_1ном =…А; I_0a =…А;

I_0р ≈ I_μ =…А; Р_ст + Р_тр.щ. + Р_мех =…кВт;

Р_э.щ.ном = …кВт: r₁ =…Ом; r^/₂ =…Ом; с₁ =…

a^/ =…; a = …Ом; b^/ =…Ом; b =…Ом

№ п/п	Расчетная формула	Едини- цы вели- чины			Скольжение
0,005	0,01	0,015	...	sном
		Ом
		Ом
	R = a +	Ом
	X = b +	Ом
		Ом
		А
		-
		-
		А
		А
		А
		А
	P1 = 3 U1ном I1a 10 -3	кВт
	Рэ1 = 3 I12 r1 10 -3	кВт
	Рэ1 = 3 (I11) 2 r/2 10 -3	кВт
	Рэ.щ. ≈ Рэ.щ.ном. (I1/I1ном)*	кВт
	Рдоб = 0,005 Р1	кВт
	Σ Р = Рст + Рмех + Ртр.щ + Рэ1 + Рэ2 + Рэ.щ + Рдоб	кВт
	Р2 = Р1 - Σ Р	кВт
	η = 1 - Σ Р / P	–
	cos φ = I1a / I1	–

*Для двигателей с короткозамкнутым ротором Р_э.щ.ном = 0.

После окончания расчета для принятых значений скольжения строится характеристика s = f (P₂), по которой уточняется значение s_ном, соответствующее заданной номинальной мощности Р_2ном (см. пример расчета на рис. 9.77), и заполняется последний столбец фор­муляра.

В приведенных формулах не учтено возможное изменение пара­метров при s > s_ном. Поэтому при расчете характеристик двигателей с двухклеточными короткозамкнутыми роторами или с роторами, имеющими фигурные пазы, в которых в повышенной степени про­является действие эффекта вытеснения тока, для каждого из приня­тых значений скольжения, больших s_ном, необходимо уточнять зна­чения параметров r'₂ и х'₂ (см. § 9.13).

Рабочие характеристики асинхронного двигателя мощностью 15 кВт приведены в примере расчета (см. § 9.17).

Расчет рабочих характеристик по круговой диаграмме. Круговая диаграмма асинхронного двигателя изображена на рис. 9.56 [5]. Ис­ходными данными для ее построения являются:

ток синхронного холостого хода /о, А,

(9.236)

где I_0a – по (9.266); I_0p ≈ I_μ

Коэффициент с₁ рассчитывают по (9.223) или по (9.225).

Сопротивления короткого замыкания

(9.237)

Рис. 9.56. Круговая диаграмма асинхронной машины

Чтобы размеры круговой диаграммы были удобны для работы, целесообразно вначале выбрать ее диаметр DK (в пределах 200. ..250 мм), после чего рассчитать масштабы: масштаб тока, А/мм: ; масштаб мощности, Вт/мм: m_P = 3 U_ном m_I; масштаб момента, Нм/мм: m_M = m_P / Ω , где Ω = .

При построении диаграммы вектор напряжения направля­ют по оси ординат ОВ₁. Из начала координат строят вектор тока

синхронного холостого хода ОА₀ I₀ — под углом φ₀ к оси ординат φ₀ = arccos . Точку A₀, удобно найти, отложив по вертикальной и горизонтальной осям ее координаты, соответственно равные I_0a и I_0p .

Через точку A₀ проводят линии A₀F₀ || ОВ и A₀F под углом 2γ к оси ординат. Из-за малости γ построение угла < F₀A₀F удобно вы­полнять следующим образом. В произвольной точке F'₀ прямой A₀F₀ восстанавливают перпендикуляр к линии A₀F₀ и откладывают на нем отрезок

| F'₀ F''₀| = | А₀ F'₀| tg 2γ ≈ | А₀ F'₀| 2 tg γ;

Линия A₀F определяет положение диаметра круговой диаграм­мы. Отложив на ней отрезок |А₀О'| = 0,5 D_k, проводят окружность с центром О' радиусом 0,5D_K. Через произвольную точку F₁ диа­метра A₀F' проводят линию (F' F₁) ┴ (A₀F) и откладывают на ней отрезки |F₁F₂| = |A₀F₁| и |F₁F₃| = |A₀F₁| . Через точку А₀ и точки F₂ и F₃, проводят прямые до пересечения их с окружностью соответственно в точках А₂ и А₃. На оси ординат откладывают от­резок |OA₁| = Р₀/m_р, где Р₀ = P_ст + 3 + Р_мех, и через точку А₁ про­водят |А₁А'₀| || ВО. Точку А'₀ соединяют с точками О и А₃. На этом построение круговой диаграммы заканчивается.

Окружность диаметром D_K и с центром О' является геометрическим местом концов векторов тока статора двигателя при различ­ных скольжениях. Точка окружности A₀ определяет положение кон­ца вектора тока I₀ при синхронном холостом ходе, а точка А'₀ — при реальном холостом ходе двигателя. Отрезок О А'₀ определяет ток I_x.x, а угол < A'₀OB₁ – cos φ_к.з. Точка А₂ окружности определяет положе­ние конца вектора тока при коротком замыкании (s = 1), отрезок ОА₃ — ток I_к.з, а угол < А₃ОВ₁ – соs φ_к.з. Точка А₂ определяет положе­ние конца вектора тока при s = ∞.

Промежуточные точки на дуге окружности А₀А₃ определяют по­ложение концов векторов тока I₁ при различных нагрузках в двига­тельном режиме (0 < s ≤ 1). Ось абсцисс диаграммы ОB является ли­нией первичной мощности P₁. Линией электромагнитной мощности Р_эм или электромагнитных моментов М_эм является линия А₀А₂. Ли­нией полезной мощности на валу (вторичной мощности Р₂) является линия А'₀А₃. По круговой диаграмме для тока статора, которому со­ответствует точка А на окружности, можно рассчитать необходи­мые для построения рабочих характеристик данные:

ток статора, А, I₁ = m_I |OA|;

ток ротора, А, I'₂ = m_I |A₀A|;

первичную мощность, Вт, P₁ = m_р |AN|, где AN ┴ ОВ;

электромагнитную мощность, Вт, Р_эм = m_р |АС|, где АС ┴ A₀F;

электромагнитный момент М_эм = m_м |АС|;

полезную мощность, Вт, Р₂ = m_р |АЕ|;

КПД |АЕ| / |AN|;

коэффициент мощности cos φ = cos < AOB₁;

скольжение двигателя |DС| / |АС|.

Для построения рабочих характеристик вначале находят поло­жение на окружности точки А_н, которая соответствует номинально­му режиму работы. Для этого, исходя из заданной номинальной мощности Р_2ном, рассчитывают длину отрезка |E'F_н| = P_2ном / m_p и от­кладывают на линии F₁F' ┴ A₀F от точки ее пересечения Е' с линией полезной мощности А'₀А₃. Через точку F_н проводят F_нA_н || А'₀А₃. Точ­ки пересечения F_HA_H с окружностью А_н и А'_н определяют положение концов вектора тока I₁ при мощности Р_2ном. Точка А_н, ближайшая к А'₀, соответствует номинальному режиму, точка А'_Н — режиму неу­стойчивой работы двигателя (при s > s_кp).

Наметив на дуге А₀А_н несколько точек а₁, а₂, а₃, ..., определяют соответствующие каждой из них данные I₁, Р₁, Р₂, соs φ, η, М, s.

Из круговой диаграммы можно найти также приближенное значение кратности максимального момента М_mах. Оно будет несколь­ко занижено, так же как и в аналитическом расчете без учета изме­нения параметров от насыщения полями рассеяния и от действия эффекта вытеснения тока.

Расчет рабочих характеристик по круговой диаграмме связан с определенными погрешностями при выполнении графических работ. Некоторое уточнение может дать сочетание графического метода и элементов аналитического. Например, I₁, I₂ и cos φ определяют по круговой диаграмме, а суммы потерь, Р₂, Р₁, s и η - расчетным путем, используя данные круговой диаграммы. В этом случае можно также учесть дополнительные потери, которые при построении круговой диаграммы не принимают во внимание [6].

Такая методика расчета иногда применяется на практике. Одна­ко все более широкое распространение ЭВМ делает аналитический метод расчета рабочих характеристик более предпочтительным.

9.13. РАСЧЕТ ПУСКОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Учет эффекта вытеснения тока. С увеличением частоты тока в стержнях обмотки короткозамкнутого ротора возникает эффект вы­теснения тока, в результате которого плотность тока в верхней час­ти стержней возрастает, а в нижней уменьшается, при этом активное сопротивление ротора увеличивается, а индуктивное уменьшается. Изменение сопротивлений ротора влияет на пусковые характери­стики машины.

В большинстве случаев эффект вытеснения тока в обмотках короткозамкнутых роторов играет положительную роль, так как уве­личивает начальные моменты двигателей. Это широко используют при проектировании асинхронных машин, выполняя роторы с глу­бокими прямоугольными или фигурными пазами или с двойной беличьей клеткой, в которых эффект вытеснения тока проявляется особенно сильно. Однако неравномерное распределение плотности тока по сечению стержня ротора может привести и к нежелатель­ным последствиям. Например, при неудачно выбранных размерных соотношениях стержней чрезмерно возрастающая в пусковых режи­мах плотность тока в их верхних участках может вызвать неравно­мерное тепловое удлинение стержней и их изгиб. При этом стержни разрывают усики пазов и выгибаются в воздушный зазор, что неиз­бежно приводит к выходу двигателя из строя. В связи с этим правильный учет влияния эффекта вытеснения тока является необходимым при проектировании асинхронных машин с короткозамкнутыми роторами.