Напряженность электрического поля определяется формулой

Введение

В предлагаемое учебное пособие вошли задачи по курсу общей физики (раздел “Электричество и магнетизм”), предназначенные для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов. Задачи разделены по темам в соответствии с действующей программой по общей физике для подготовки бакалавров образования по направлениям “физика”, “математика”, “прикладная математика и информатика” и специалистов соответствующего профиля. В сборнике содержатся задачи трех уровней сложности, что упрощает его использование в сочетании с рейтинговой системой оценки знаний. Задачи первого (низшего) уровня сложности являются типовыми, они снабжены подробными решениями и предлагаются для воспроизведения студентам, претендующим на удовлетворительную оценку. Задачи второго и третьего уровней сложности предназначены для самостоятельного решения студентами, претендующими на более высокий рейтинг, требуют, как правило, проработки дополнительной литературы, и творческого подхода. Учебное пособие может быть полезно также учителям, работающим в школах с углубленным изучением физики и учащимся этих школ.

Тема 1

Закон Кулона Напряженность электрического поля

По закону Кулона сила, действующая между двумя заряженными телами, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними, определяется формулой:

,

где q₁ и q₂ – электрические заряды тел,

r – расстояние между ними,

e – относительная диэлектрическая проницаемость среды,

e₀ – электрическая постоянная, равная в СИ 8,85×10^-12 Ф/м.

Напряженность электрического поля определяется формулой

где F – сила, действующая на заряд q.

Напряженность поля точечного заряда

Напряженность электрического поля от нескольких зарядов находится по правилу геометрических сложений полей.

По теореме Гаусса поток напряженности сквозь любую замкнутую поверхность

где Sq – алгебраическая сумма зарядов, находящихся внутри этой поверхности.

При помощи теоремы Гаусса можно найти напряженность электрического поля, образованного различными заряженными телами.

Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно длинной нитью

где t – линейная плотность заряда на нити,

а – расстояние от нити.

Если нить имеет конечную длину, то напряженность поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восстановленном из середины нити на расстоянии а от нее равна:

где q – угол между направлением нормали к нити и радиус-вектором, проведенным из рассматриваемой точки к концу нити.

Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно протяженной плоскостью

где s – поверхностная плотность заряда на плоскости.

Если плоскость представляет собой диск радиусом R, то напряженность поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восстановленном из центра диска на расстоянии а от нее,

Напряженность поля, образованного разноименно заряженными бесконечными плоскостями

Напряженность поля, образованного заряженным шаром

где q – заряд шара радиусом R,

r – расстояние от центра шара, причем r>R.

Задача 1

В вершинах правильного шестиугольника расположены три положительных и три отрицательных заряда. Найти напряженность Е электрического поля в центре шестиугольника при различных комбинациях в расположении этих зарядов. Каждый заряд 1,5 нКл, сторона шестиугольника 3 см.

Дано:	Решение: Возможны три варианта расположения зарядов в вершинах шестиугольника. Пусть . Напряженность электрического поля в т. А является векторной суммой напряженностей
Ерез – ?	создаваемых в этой точке положи-

тельными и отрицательными зарядами. Эти напряженности равны по модулю

Рассмотрим случаи:

а) по принципу суперпозиции

(1)

угол между векторами 2a=120°.

Т.к. векторы и , и , и сонаправлены, то их можно сложить.

A

(2)

-q4 +q2   +q1 -q5   -q6 +q3

Найдем результирующую напряженность между векторами , она численно равна

Вектор направлен в противоположную сторону и, значит, уравнение (2) приобретает вид

учитывая, что , приходим к выводу, что

Е_рез=0.

б) используя принцип суперпозиции:

,

(3)

векторы имеют взаимно противоположные направления и одинаковые значения, и уравнение приобретает вид:

Ерез=Е2+Е5=2Е2,

(4)

+q1 -q5   -q4 -q6   +q2 +q3

т. к. сонаправлены и имеют равные значения, лежат на одной прямой.

(5)

Подставим (5) в (4)

в) по принципу суперпозиции

.

(6)

+q3 -q4 +q2 -q5 +q1 -q6

Учитывая, что векторы , и что они численно равны, выражение (6) можно переписать в виде:

Результирующий вектор лежит на (используя сложение правилом параллелограмма), угол между векторами равен 60°. Результирующая напряженность направлена от А к q₅ и равна по модулю

.

Ответ:напряженность в центре шестиугольника при трех вариантах расположения зарядов равна Е=0; Е=30 кВ/м; Е=60 кВ/м, соответственно.

Задача 2

Два точечных заряда q₁=7нКл, q₂=–14.7 нКл расположены на расстоянии r=5 см. Найти напряженность Е электростатического поля в точке, находящейся на расстоянии а=3 см от положительного заряда и b=4 см от отрицательного заряда.

Дано:	Решение: Рассмотрим общий случай при a – неизвестном. Согласно принципу суперпозиции в точке А, напряженность где – напряженности полей, создаваемых в этой точке зарядами q1 и q2, соответственно. Вектор является диагональю параллелограмма
ЕА=?	со сторонами .

Воспользовавшись теоремой косинусов, найдем

(1)

где - модули векторов , соответственно.

, (2)

применив теорему косинусов к треугольнику со сторонами r, a, b, получим

,

+q a A r b   -q

(3)

В нашем случае cos a = 0 и e = 1.

Подставим выражения (2) и (3) в формулу (1) и найдем Е_А

Вычисления:

Ответ: напряженность электростатического поля в точке А равна

Задача 3

Два шарика одинаковых радиусов и массы подвешены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются. Какой заряд Q нужно сообщить шарикам, чтобы сила натяжения нитей стала равной Т=98 мН? Расстояние от центра шарика до точки подвеса l=10 см, масса каждого шарика m=5г.

Дано:	Решение: На шарики действуют сила тяжести , сила упругости , сила кулоновского отталкивания , (1) где – заряд, полученный каждым шариком после сообщения им заря-
q – ?	да, равного q.

2 a l a rx y

При равновесии шарика сумма проекций сил на вертикальное и горизонтальное направления равна нулю.

Спроецируем силы на оси координат Ох и Оу

Ох: F_K–F_упрsina=0

Oy: –F_упрcosa+mg=0.

Преобразуем уравнения

F_K = F_упрsina. (2)

mg = F_упрcosa. (3)

По III закону Ньютона сила упругости и сила натяжения нити численно равны.

Из уравнения (3) получаем, что

под Т понимаем F_упр.

Найдем

(4)

Из геометрических соображений видно, что

(5)

Подставим формулы (1), (4), (5) в (2), получаем

Вычисления:

Ответ: чтобы сила натяжения нитей была равна Т нужно сообщить шарикам заряд, который равен 1,1 мкКл.

Задача 4

Два заряженных шарика одинаковых радиусов и массы подвешены на нитях одинаковой длины и опущены в жидкий диэлектрик, плотность которого равна , а диэлектрическая проницаемость равна . Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы углы расхождения нитей в воздухе и в диэлектрике были одинаковы?

Дано:	Решение: Рассмотрим шарики, находящиеся в воздухе (e=1). На шарик действует сила тяжести , сила упругости и сила куло-
	новского отталкивания . При равнове-

a l a q r q x y

сии шарика суммы проекций сил на вертикальное и горизонтальное направления равны нулю

Найдем проекции векторов сил на Ох и Оу

Ох: FK–Fупрsina=0 ÞFK = Fупрsina.	(1)
Oy: –Fупрcosa+mg=0 Þ mg = Fупрcosa.	(2)

Разделим почленно уравнение (1) на (2), получаем уравнение

(3)

Из DАВС видно, что

(4)

Подставим (3) в (4), получим

a l a q r qx y

(5)

Рассмотрим шарики, находящиеся в жидком диэлектрике.

При погружении шарика в диэлектрик на него начинает действовать выталкивающая сила Архимеда.

При равновесии шарика сумма проекций сил на вертикальное и горизонтальное направления равна нулю.

Найдем проекции векторов сил на оси Ох и Оу

Ох: FK–Fупрsina=0 Þ FK = Fупрsina.	(6)
Oy: –Fупрcosa+mg+Fарх=0 Þ mg– Fарх = Fупрcosa.	(7)

Поделим почленно уравнение (6) на (7), получим

(8)

Подставим в (8) значение F_K и выражение (4)

(9)

F_арх численно равна

(10)

Из (5), (9), (10) имеем

Ответ: плотность материала шарика должна быть получена из формулы

Задача 5

На рисунке АА¢ — заряженная плоскость с поверхностной плотностью заряда 40 мкКл/м² и В — одноименно заряженный шарик с массой 1г и зарядом 1нКл. Какой угол с плоскостью АА¢ образует нить, на которой висит шарик?

Дано:	Решение: На шарик действуют три силы: сила упругости , сила тяжести и сила кулоновского отталкивания . При равновесии шарика суммы проекций сил на горизонтальное и верти-
a – ?	кальное направления равны нулю.

А¢ a a x В y А

Найдем проекции векторов на оси координат

Ох: F_K–F_упрsina=0

Oy: –F_упрcosa+mg=0.

F_K = F_упрsina. (1)

mg = F_упрcosa. (2)