Тема: Напрям угнутості кривої. Точки перегину. Асимптоти кривої
Графік функції у = f(х) називається угнутим на проміжку (a ; b), якщо відповідна дуга кривої розміщена вище дотичної, проведеної в будь-якій точці цієї дуги.
Графік функції у = f(х) називається опуклим на проміжку (a ; b), якщо відповідна дуга кривої розміщена нижче дотичної, проведеної в будь-якій точці цієї дуги.
Точкою перегину неперервної кривої називається така її точка М0, при переході через яку крива міняє свою опуклість на угнутість і навпаки.
Достатня умова опуклості (угнутості) кривої: якщо друга похідна f′′(х) функції у = f(х) додатна на проміжку (a ; b), то графік цієї функції угнутий на цьому проміжку. Якщо друга похідна f′′(х) від’ємна на проміжку (a ; b), то графік функції опуклий на цьому проміжку.
Достатня умова існування точки перегину графіка функції: якщо друга похідна f′′(х) функції у = f(х) в точці х0 рівна нулю і міняє знак при переході через цю точку, то М(х0; f(х0)) – точка перегину графіка цієї функції.
Приклад. Дослідити функцію на напрям угнутості та знайти точки перегину: у=- 6х5 + х4 + 3х.
Область визначення функції: D(у) = (- ; + ).
Знайдемо похідні даної функції:
у′ = 6х5 – 30х4 + 30х3 + 3;
у′′ = 30х4 – 120х3 + 90х2 = 30х2(х2 – 4х + 3).
Прирівняємо отриману похідну до нуля і розв’яжемо отримане рівняння:
30х2(х2 – 4х + 3) = 0 30х2 = 0 або х2 - 4х + 3 = 0.
Звідси: х1,2 = 0, х3 = 1, х4 = 3.
+ + - +
0 1 3
Отже, графік функції угнутий при х (-; 1)(3; +,
графік функції опуклий при х(1; 3).
Точки перегину функції:
у(1) = 1 – 6 + + 3 = 7,5 – 2 = 5,5.
у(3) = 729 – 1458 + 607,5 + 9 = 112,5.
Асимптотою кривої називається пряма лінія, до якої необмежено наближається точка цієї кривої при необмеженому віддаленні від початку координат. Асимптоти бувають вертикальні і невертикальні.
Якщо хоча б одна з односторонніх границь функції у = (х) в точці є нескінченною, тобто (х) = або(х) = , то пряма х = називається вертикальною асимптотою графіка цієї функції.
Пряма у = b є похилою асимптотою кривої у = (х) при х або при х, якщо виконуються умови: k = , b = ((х) – kх).
На рис. 1,2, і 3 наведені приклади асимптот.
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
Асимптоти можуть бути похилими і вертикальними.
Якщо і (або) , то пряма є вертикальною асимптотою.
Прикладом вертикальної асимптоти є вісь Oy на рис. 3.
Прикладами похилих асимптот є прямі L на рис. 1 і 2.
Частинним випадком похилої асимптоти є горизонтальна асимптота.
Графік функції має горизонтальну асимптоту у = b, якщо k = 0, b
Приклад: Знайти рівняння асимптот функції: у = .
Область визначення функції: D(у) = (- (-1; +).
Знайдемо односторонні границі: = = = = = = -.
Отже, пряма х = - 1 є вертикальною асимптотою.
Перевіримо умови існування похилих асимптот:
k = == () = 1,
b = ((х) – kх) = ( - х) = = () = 2.
Отже, пряма у = х + 2 є похилою асимптотою даної функції.
Завдання для роботи в аудиторії:
І. Знайти проміжки опуклості та угнутості і точки перегину графіка функції:
1) у = х2 – 6х + 7;
2) у = х4 – 6х2 + 5х – 9;
3) у = х6 – 3х4 + 3х2 – 4;
4) у = ;
5) у = .
ІІ. Знайти рівняння асимптот графіка функції:
1) у = ;
2) у = ;
3) у = ;
4) у = 2х - ;
5) у = .
Домашнє завдання:
І.Знайти проміжки опуклості та угнутості і точки перегину графіка функції:
1) у = 3х2 – 2;
2) у = х3 – 3х2 + 4х – 5;
3) у = х5 – 10х3 + 6х + 2;
4) у = + 3;
5) у = .
ІІ. Знайти рівняння асимптот графіка функції:
1) у = ;
2) у = ;
3) у =
4) у = ;
5) у = .