Примеры решения задач по колебаниям и волнам

Пример 1. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия x=0, частота колеба- ния w₀=4с^-1. В некоторый момент времени координата частицы x₀ = 25 см и ее скорость u₀ = 100 см/с. Найти координату x и скорость u частицы через t = 2,4 с после этого момента.

Решение

Запишем уравнение гармонических колебаний частицы в виде:

x = Acos(w₀t + j₀), (1)

тогда уравнение скорости будет иметь вид:

(2)

Для нахождения параметров данных уравнений воспользуемся начальными условиями. При t = 0 имеем:

х₀ = Аcosj₀,

u₀ = -Аw₀sinj₀,

откуда и φ₀= -p/4,

.

Координата и скорость частицы u в момент времени t = 2,4 с найдутся из уравнение (1) и (2):

х = - 29 см, u = -81 см/с.

Пример 2. Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом Т = 0,6 с и амплитудой А = 10 см. Найти среднюю скорость точки за время, в течении которого она проходит путь А/2:

а) из положения равновесия; б) из крайнего положения.

Решение

Выберем за начало отсчета времени момент, когда точка проходит положение равновесия. Тогда уравнение колебаний имеет вид:

х = Аsinw₀t.

Исходя из этого уравнения определим момент времени t₁, соответствующий смещению точки х = А/2. Имеем:

,

откуда t₁ = T /12 .

Значение средней скорости точки при ее движении из положения равновесия определяется из формулы:

u_ср1 = 100 см/с.

Время движения точки из крайнего положения до половины амплитуды будет равно:

.

С учетом этого:

; u_ср2 = 50 см/с.

Аналогичные результаты могут быть получены при использовании формулы:

Пример 3. Найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания, возникающего при сложении двух одинаково направленных колебаний, выражаемых уравнениями: х₁ = 3cos(wt + p/3) см, х₂ = 8sin(wt + p/3) см.

Написать уравнение результирующего колебания.

Решение

Вначале, используя тригонометрические формулы, приведем уравнение второго колебания к виду

х₂ = 8 cos(wt - p/6) см.

А1 0 φ1 х φ2 А   А2

Затем построим векторную диаграмму сложения одно- направленных колебаний (см.рис.). Согласно теореме косинусов получим

,

где Dj = j₂ - j₁ .

Произведя вычисления, найдем А = 8,5 см. Тангенс начальной фазы результирующего колебания определится из рисунка

, откуда j = - 0.2 рад.

Уравнение результирующего колебания запишется в виде:

0 l lc c m3

m2

х =8,5cos(wt – 0.2) см.

Пример 4.На концах тонкого стержня длиной l = 1 м и массой m₁ = 0,4 кг укреплены шарики малых размеров массами m₂ = 0,2 кг и m₃ = 0,4 кг. Стержень колеблется около горизонталь- ной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Опреде- лить период колебаний, совершаемых стержнем.

Решение

Стержень с шариком (см. рис.) представляет собой физический маятник, период колебаний которого определяется формулой

,

где I - момент инерции маятника относительно оси колебаний; m – масса; l_c – расстояние от центра масс маятника до оси.

Принимая шарики за материальные точки, общий момент инерции маятника определяем выражением

I = (1/12)m₁l² + m₂(l/2)² + m₃(l/2)² = (1/12) l²(m₁ + 3m₂ + 3m₃),

I = 158 кгּ м².

Масса маятника m = m₁ + m₂ + m₃ = 0,9 кг.

Расстояние l_c от оси маятника до его центра масс равно

Произведя вычисления, найдем l_c = 5,55 см, Т = 11,2 с.

Пример 5. Тело массой m = 5 г совершает затухающие колебания. В течении времени t =50 с тело потеряло 60 % своей энергии. Определить коэффициент сопротивления r.

Решение

Энергия тела, совершающего колебания, определяется по формуле

E = mA²w²/2.

Учитывая зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени A = А₀ е^{- b t},

получим или

E = E₀ е ^{-2b t}, (1)

где – энергия тела в момент времени t = 0.

К моменту времени t =50 с тело потеряло 60 % своей перво- начальной энергии, следовательно,

E = 0,4E₀. (2)

Приравнивая (1) и (2), сокращая на E₀ и, логарифмируя обе части равенства, найдем:

ln2,5 = 2bt.

Отсюда выражаем b:

b = (ln2,5)/2t. (3)

С другой стороны, b = r/2m. (4)

Из сравнения (3) и (4) получим r = (m ln2,5)/t

После подстановки числовых значений найдем

r = 9,16×10^-5 кг/с.

Пример 6. Тело массой m = 10 г совершает затухающие колебания с максимальным значением амплитуды 7 см, начальной фазой, равной нулю, коэффициентом затухания, равным 1,6 с^-1. На это тело начала действовать внешняя периодическая сила, под действием которой установились вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид x =5sin(10pt - 0,75p) см. Найти: 1) уравнение свобод- ных колебаний; 2) уравнение внешней периодической силы.

Решение

Уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид

х = А₀ е ^{- bt} sinw t, (1)

где - частота затухающих колебаний; w₀ – собствен ная частота колебаний; b - коэффициент затухания.

По условию сдвиг фаз j между собственными и вынужден- ными колебаниями равен – 3p/4; следовательно, tg(-3p/4) = 1.

С другой стороны,

Из равенства

cледует (2)

У нас w_в = 10p, b = 1,6 с^-1. Подставляя эти значения в (2), получим, что b² << w₀², получим, что частота w затухающих колебаний равна частоте w₀ собственных колебаний. Следовательно, уравнение свободных затухающих колебаний примет вид

х = 7 e^-1,6t sin10,5w p t см.

Уравнение внешней периодической силы

F = F₀ sinw t. (3)

Амплитудное значение вынуждающей силы

(4)

После подстановки числовых значений получаем F₀ =

= 72 мН. С учетом этого уравнение внешней периодической силы будет иметь вид

F = 72 sin10p t мН.

Пример 7. Сила, действующая на материальную точку, изменяется по гармоническому закону F = F₀ sinw t. В началь- ный момент времени скорость точки равна нулю. Как с течением времени изменяется скорость и положение точки?

Решение

По второму закону Ньютона

, или (1)

Отсюда тогда скорость колеблющейся

точки (2)

Обозначая , перепишем (2) в виде

График изменение скорости представлен на рис.1

Если начальное положение точки принять за начало координат, то координата точки в любой момент времени определяется выражением

Таким образом, движение точки под действием периодической силы является поступательным с периодиче- ским возрастанием скорости от 0 до 2u_m, а затем снова до 0 (рис. 2.).

x

0 T t

υ     2υm

T 2T t

Рис. 1 Рис. 2

Пример 8.Плоская волна распространяетсявдоль прямой со скоростью υ =20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии х₁=12 м и х₂=15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз Δφ = 0,75 π. Найти длину волны λ, написать уравнение волны и найти смещение указанных точек в момент t = 1,2 с, если амплитуда колебаний А = 0,1 м.

Решение

Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны λ, колеблются с разностью фаз, равной 2π; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии Δx, колеблются с разностью фаз, равной

.

Решая это равенство относительно λ, получим

. (1)

Подставляя числовые значения величин, входящих в выражение (1), получим λ = 8 м.

Для того, чтобы написать уравнение плоской волны, надо ещё найти циклическую частоту ω. Так как ω=2π/T (T = λ/υ – период колебаний), то

.

Произведя вычисления, найдём

Зная амплитуду колебаний А, циклическую частоту ω скорость распространения волны υ, можно написать уравнение плоской волны для данного случая

(2)

где А= 0,1м, ω=5π с^-1, υ= 20 м/c.

Чтобы найти смещение указанных точек y , достаточно в уравнение (2) подставить значения t и х:

y₁ = - 0,1м ; y₂ = 7,1см.

Пример 9. Омическое сопротивление контура Ом, индуктивность , ёмкость . Определить силу тока в контуре в момент времени , если при заряд на конденсаторе , а начальная сила тока равна нулю.

Решение

Общий вид уравнения затухающих колебаний в контуре запишем в виде:

, (1)

где ,

.

Начальную фазу и амплитудное значение заряда

определим из начальных условий. Учитывая, что при , получаем

. (2) Найдём выражение для силы тока

. (3)

Так как при и I = 0,получаем

.

Откуда и . Наконец, из (2) находим

.

С учётом найденных параметров уравнения (3) определим силу тока в контуре в момент времени

, .

R

C

L

E

Пример 10. В цепи, состоящей из последовательно соединённых резис- тора , катушки индуктив- ностью и конденсатора ёмкостью , действует синусо- идальная ЭДС. Определите частоту ЭДС, при которой в цепи наступит резонанс. Найти действующие значения силы тока I и напряжений U_R , U_L , U_C на всех элементах цепи при резонансе, если при этом действующее значение ЭДС .

Решение

Под действием переменной ЭДС в цепи установятся вынужденные колебания. При этом амплитудные значения тока и ЭДС связаны соотношениями

.

В соответствии с формулами, связывающими амплитуд- ные и действующие значения токов и напряжений ( , ), данное соотношение имеет аналогичный вид и для действующих значений:

.

Максимальному току при резонансе соответствует такое значение ,при котором выполняется условие

, откуда .

При этом сила тока . Зная силу тока , найдём действующие значения напряжения на каждом из элементов контура. В соответствии с законом Ома для каждого из участков получим:

,

,

Равенство следует из равенства при резонансе.

5. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА

5.1. Световая волна. Когерентность и монохроматичность световых волн

Свет представляет собой электромагнитную волну, в которой происходят колебания векторов напряженности электрического и магнитного полей. Однако, как показывает опыт, различные действия света (физиологическое, фото- химическое, фотоэлектрическое и др.) вызываются колеба- ниями электрического вектора. Поэтому в дальнейшем этот вектор будем называть световым вектором, а плоскую световую волну описывать лишь одним уравнением

(5.1)

где A-амплитуда светового вектора, - частота колебаний, - волновое число.

Длины и частоты видимого света лежат в пределах и .

Скорость распространения света в вакууме есть одна из важнейших констант физики и равна . В других средах она меньше и определяется по формуле

, (5.2)

где n-показатель преломления среды.

Для всех прозрачных сред , поэтому .

При переходе света из одной среды в другую частота колебаний ν в световой волне сохраняется, но длина волны изменяется

. ( 5.3)

Средний по времени световой поток через единицу поверхности площадки, перпендикулярной к направлению распространения волны, носит название интенсивности света. Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды световой волны

(5.4)

где n-показатель преломления среды.

Световая волна, описываемая уравнением (5.1), называется монохроматической. Однако, ни один реальный источник (исключая лазерный) не даёт строго монохромати- ческого света. Реальное излучение содержит в себе ни одну определённую частоту, а некоторый набор частот. Чем уже интервал частот ∆ν, тем более монохроматичным оно является.

Причина немонохроматичности излучения всякого источника, кроме лазерного, заключается в самом механизме испускания света. Излучение светящегося тела слагается из волн, испускаемых атомами. Излучение отдельного атома продолжается τ ≈ . За это время образуется цуг протяжён- ностью . Одновременно излучает большое количество атомов. Возбуждаемые ими цуги, налагаясь друг на друга, образуют световую волну. Фаза реальной световой волны изменяется с течением времени, поскольку излучение одной группы атомов сменяется излучением другой. Время, за которое случайные изменения фазы в световой волне достигают значение , называют временем когерентности. За это время волна становится некогерентной к самой себе. Таким образом, время когерентности гораздо меньше времени излучения одного цуга.

Интерференция света