Контроль по альтернативному признаку

При выборочном контроле назначают два значения: - приемочный уровень дефектности (ПУД), задается поставщиком .(пусть ); - браковочный уровень дефектности (задается потребителем). Для потребителя — максимально допустимый уровень дефектности, например 0,05. При таком значении поставщик должен так организовать производство, чтобы партии с уровнем дефектности в случаев (почти всегда) принимались как годные, а партии с уровнем дефектности , почти всегда, т. е. в случаев, браковались. Значения и назначаются в результате обсуждения до проведения статистического приемочного контроля качества продукции.

Одноступенчатый контроль

Поскольку при одноступенчатом контроле решение принимают по результатам проверки только одной выборки или пробы, эта выборка должна хорошо отражать свойства всей партии и для этого быть случайной. Случайную выборку получают отбором единиц продукции из различных частей партии или перемешиванием единиц продукции в партии при отборе.

Планом одноступенчатого контроля устанавливается объем выборки n из партии объемом N а приемочное число с. Партия принимается, если количество дефектных единиц продукции в выборке ; при партия бракуется.

Процедуру одноступенчатого контроля наглядно отображает схема (рис. 3.9), из которой по горизонтальной оси отложено количество проверяемых единиц Продукции, по вертикальной - количество забракованных единиц продукции. Для каждой выборки эти крестики располагаются по случайному пути, который закапчивается в точке с абсциссой n. Партия принимается или бракуется в зависимости от того, попадает ли точка окончания случайного пути ниже или выше с.

При одноступенчатом контроле партия принимается, если наступает одно из несовместных событий: , ,…, . По-этому вероятность приемки партии равна сумме вероятностен этих событий:

(3.13)

Слагаемые в формуле (3.13) зависят от вида закона распределения случайной величины — количества дефектных единиц продукции в выборке из n единиц продукции.

Рис 3.9 Схема одноступенчатого приемочного контроля.

Для малых партий, когда объем выборки превышает 10...25% партии (наиболее сложный случай), можно использовать гипергеометрическое распределение:

, (3.14)

где k = 0, 1, 2, ...; - целое число.

При таком распределении учитывается зависимость результатов отдельных испытаний от изменения объема малой партии при взятии из нее выборки, поэтому обеспечивается хорошее приближение к действительности. Однако это распределение имеет три параметра ( , , ), поэтому трудно составлять таблицы и пользоваться ими. Чаще применяют биномиальное распределение, согласно которому

(3.15)

Это распределение имеет два параметра ( , ) и поэтому пользоваться таблицами удобно.

Биномиальное распределение соответствует случаю, когда испытания отдельных изделии независимы, что можно достичь возвращением проверенных изделии в партию. Испытания считаются практически независимыми при , что обычно и бывает в действительности. Поэтому биномиальное распределение применяют чаще гипергеометрического.

Когда, не только , но и q мало (т. е. - мало дефектных единиц продукции в партии), можно использовать распределение Пуассона с параметром :

(3.16)

Этим распределением пользоваться еще проще, так как оно имеет одни параметр.

Подставив в форму (3.13) одно из выражении для согласно (3.14), (3.15) или (3.16), получим зависимость .

Согласно определениям вероятностей ошибок первого и второго рода имеем

, (3.17)

. (3.18)

В (3.17) учтено, что так как - вероятность забракования партии продукции; обладающей приемочным уровнем дефектности , то - вероятность приемки этой партии.

По формулам (3.17) и (3.18) можно вычислить и по выбранным заранее , , , при определенном виде закона распределения . Например, для распределения Пуассона:

; ( 3.19 )

. ( 3.20 )

Решение уравнений (3.19), (3.20) в явном виде обычно получить трудно. Приходится так изменять и , чтобы суммы были равны правым частям уравнений.

Для построения оперативной характеристики обычно достаточно четырех точек: ; и значении из уравнении (3.19) и (3.20).

Влияние на оперативную характеристику объема выборки и приемочного числа показано на рис. 3.10. Если увеличивать при неизменном отношении , то оперативная характеристика становится все ближе к идеальной (рис. 3.10, а). При этом соответственно увеличивается стоимость контроля.

Рис. 3.10. Влияние объема выборки и приемочного числа на оперативную характеристику одноступенчатого плана контроля (биномиальное распределение):

а) ; б) ; в) .

Увеличение приемочного числа при неизменном объеме выборки смещает вправо и уменьшает ее наклон в рабочей области ( , ). При оперативная характеристика близка к экспоненте. Если задаться определенной вероятностью ( ) приемки, то на рис. 3.10, б видно, что при обеспечивается приемка при минимальной доле дефектных единиц продукции. Поэтому условие применяют при контроле изделий, к качеству которых предъявляются высокие требования.

Увеличение при постоянном приемочном числе ведет к смещению влево (рис. 3.10, в).

Последовательный контроль

. Последовательный контроль можно рассматривать как придельный случай многоступенчатого контроля. При этом методе объём выборки не фиксируется – отдельные единицы извлекают из партии случайным образом и проверяют. После каждой проверки принимают одно из трёх решений: принять партию, продолжить проверку, забраковать партию.

Такой метод контроля иногда по имени автора – методом Вальда. Метод основан на том, что для каждой i-й последовательной независимой проверки можно вычислить отношения правдоподобия

т.е. отношение вероятности получить ровно k дефектных единиц продукции и выборки из партии с уровнем дефектности к вероятности получить то же количество дефектных единиц продукции в выборке из партии с уровнем дефектности В формулу подставляется значение вероятности согласно биномиальному распределению или распределению Пуассона.

Вальд доказал, что можно обеспечить заданные риски поставщика и потребителя , применяя следующее решающее правило:

-если выполняется неравенство

,

то партию следует принять;

-если окажется, что

,

то партию следует браковать;

-при

проверку следует продолжать.

На практике нет необходимости вычислять это отношение после проверки каждой единицы продукции. Логарифмируя неравенства можно получить уравнения прямых, по которым вычисляют и наносят на график линии k1 и k2 (рис. 3.11).

Рис. 3.11

По горизонтальной оси графика откладывают накопленное число проверенных единиц продукции n. По вертикали – накопленное число дефективных единиц продукции m. График с двумя прямыми k1 и k2 заготовляют заранее и в ходе приёмного контроля на него наносят опытные точки (n, m), отмеченные на рисунке крестиками. Как только траектория этих точек выйдет из зоны продолжения проверок, принимают решение о приёмке или браковке партии.

Найдём уравнения прямых на графике (Рис. 3.11) при биномиальном распределении числа дефектных единиц продукции в выборке. Подставив в выражение для соответствующих вероятностей, получим уравнение линии забраковки

Откуда прологарифмировав, получим

После преобразований имеем

;

,

По аналогии получим уравнение линии приёмки

Обе линии на графике параллельны.

Метод последовательного контроля позволяет значительно сократить среднее число проверяемых единиц продукции по сравнению с одно- и двухступенчатым контролем при одинаковых операционных характеристиках. Однако при этом методе трудно планировать проверки, так как неизвестно заранее количество проверяемых единиц продукции. Поэтому иногда применяют усечённый последовательный контроль, при котором испытания ведутся сначала по методу последовательного контроля. Если они не закончились при , то результаты оцениваются как при одноступенчатом контроле.

Процедура последовательных проверок может применяться не только для отдельных единиц продукции, но и для выборок.