Полное приращение функции

Рассмотрим функцию двух переменных u=f(х,у).

Выберем приращения Dx и Dy – любые, но такие, что точки (x₀+Dx,y₀+Dy)ÎЕ(Е – некоторая окрестность точки М₀(х₀,у₀)).

Тогда и точки (x₀,y₀+Dy) и (x₀+Dx,y₀)ÎЕ.

Разность Df=f(x₀+Dx,y₀+Dy)-f(x₀,y₀) называется полным приращением функции u=f(х,у) в точке М₀(х₀,у₀).

В случае функции одной переменой у=f(x) в предположении существования в точке х₀ конечной производной f¢(х₀), для приращения функции имеет место формула:

Dу=Df(х₀)=f¢(х₀)×Dх+a×Dх, где a=a(Dх) и a®0 при Dх®0

Установим аналогичную формулу для функции u=f(х,у).

Теорема. Если функция u=f(х,у) и ее частные производные f¢_х(х,у) и f¢_у(х,у) существуют и непрерывны в точке М₀(х₀,у₀) и некоторой ее окрестности, то справедлива формула:

Du=Df(x₀,y₀)=f¢_х(х₀,у₀)×Dx+f¢_у(х₀,у₀)×Dy+a×Dx+b×Dy (1)

где a=a(Dx), b=b(Dy) и a®0 Dx®0, b®0 Dy®0.

Доказательство. Представим полное приращение функции u=f(х,у) в виде

Df=(f(x₀+Dx,y₀+Dy)-f(x₀,y₀+Dy))+(f(x₀,y₀+Dy)-f(x₀,y₀)) (2)

Разность f(x₀,y₀+Dy)-f(x₀,y₀) представляет собой приращение функции f(x₀,y) при изменении у от у₀ до y₀+Dy, т.е. частное приращение функции u=f(х,у) в точке М₀(х₀,у₀). Функция f(x₀,y) – функция одного аргумента у, определенная в промежутке [y₀,y₀+Dy].

Т.к. по условию теоремы частная производная f¢_у(х,у) существует в некоторой окрестности точки М₀(х₀,у₀), то функция f(x₀,y) в промежутке [y₀,y₀+Dy] удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа о конечных приращениях ( с (a;b): что f(b)-f(a)= (c)(b-a))

Следовательно,

f(x₀,y₀+Dy)-f(x₀,y₀)=f¢_у(х₀,у₀+q₁Dу)×Dу (0<q₁<1) (3)

А разность f(x₀+Dx,y₀+Dy)-f(x₀,y₀+Dy) представляет собой приращение функции f(x,y₀+Dy) при изменении х от х₀ до х₀+Dх, т.е. частное приращение функции u=f(х,у) в точке М₀(х₀,у₀). Функция f(x,y₀+Dy) – функция одного аргумента х, определенная в промежутке [х₀,х₀+Dх].

Т.к. по условию теоремы частная производная f¢_х(х,у) существует в некоторой окрестности точки М₀(х₀,у₀), то в этой окрестности существует и частная производная f¢_х(x,y₀+Dу). Следовательно, функция f(x,y₀+Dу) в промежутке [х₀,х₀+Dх] удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа о конечных приращениях. Т.е.

f(x₀+Dx,y₀+Dy)-f(x₀,y₀+Dy)=f¢_х(х₀+q₂Dх,у₀+Dу)×Dх (0<q₂<1) (4)

Принимая во внимания соотношения (3) и (4), выражение для полного приращения Df функции u=f(х,у) в точке (x₀,y₀) может быть записано в виде:

Du=Df(x₀,y₀)=f¢_х(х₀+q₂Dх,у₀+Dу)×Dх+f¢_у(х₀,у₀+q₁Dу)×Dу (5)

По условию f¢_х(х,у) и f¢_у(х,у) непрерывны в точке М₀(х₀,у₀), поэтому

f¢_х(х₀+q₂Dх,у₀+Dу)×Dх®f¢_х(х₀,у₀) при Dх®0

f¢_у(х₀,у₀+q₁Dу)×Dу®f¢_у(х₀,у₀) при Dу®0

Тогда можно записать:

f¢_х(х₀+q₂Dх,у₀+Dу)=f¢_х(х₀,у₀)+a,

f¢_у(х₀,у₀+q₁Dу)=f¢_у(х₀,у₀)+b,

где a=a(Dx), b=b(Dy) и a®0 Dx®0, b®0 Dy®0.

Тогда вместо (5) имеем:

Du=Df(x₀,y₀)=f¢_х(х₀,у₀)×Dx+f¢_у(х₀,у₀)×Dy+a×Dx+b×Dy (1) ч.т.д.

Чтобы записать формулу (1) компактней, введем в рассмотрение выражение r= - расстояние между точками (x₀,y₀) и (x₀+Dx,y₀+Dy).

Тогда a×Dx+b×Dy= . Обозначив =e×r,

где e зависит от Dх и Dу и e®0 при r®0. Формулу (1) можно переписать в виде:

Du=f¢_х(х₀,у₀)×Dx+f¢_у(х₀,у₀)×Dy+e×r (6)

где e®0 при r®0.

Доказанная формула (1) распространяется и на случай функции от любого числа переменных., а именно

Пусть функция u=f(x₁,…,x_n) определена в некоторой открытой области Е, содержащей точку М₀( ,…, ).

Пусть функция f(x₁,…,x_n) имеет конечные частные производные ,…, в каждой точке (x₁,…,x_n)ÎЕ.

Пусть ,…, непрерывны в точке М₀( ,…, ).

Тогда полное приращение Df функции f(x₁,…,x_n) в точке М₀ представимо в виде:

Df= ( ,…, )×Dх₁+ ( ,…, )×Dх₂+…+ ( ,…, )×Dх_n+a₁Dx₁+a₂Dx₂+…+a_nDx_n

Где a₁,a₂,…,a_n®0 при r®0, где r=

Определение. Функция u=f(x,y) называется дифференцируемой в точке М₀(х₀,у₀), если f(x,y) определена в окрестности этой точки и полное приращение функции в точке (х₀,у₀) представимо в виде

Df=А×Dx+В×Dy+a×Dx+b×Dy (7)

Где А и В – постоянные числа, а a®0 и b®0 при r®0.

Теорема 1. Если функция u=f(х,у) и ее (конечные) частные производные f¢_х(х,у) и f¢_у(х,у) существуют и непрерывны в точке М₀(х₀,у₀) и некоторой ее окрестности, то она дифференцируема в этой точке.

Теорема 2. Если функция u=f(х,у) дифференцируема в М₀(х₀,у₀), то она непрерывна в этой точке (т.е. бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции)

Теорема 3. Если функция u=f(х,у) дифференцируема в М₀(х₀,у₀), то у нее в этой точке существуют конечные частные производные f¢_х и f¢_у, причем f¢_х(х₀,у₀)=А, f¢_у(х₀,у₀)=В.

Доказательство. Из того, что функция u=f(х,у) дифференцируема в М₀(х₀,у₀), следует, что Df=А×Dx+В×Dy+a×Dx+b×Dy, где a®0 и b®0 при r®0.

Положим Dу=0, тогда Df=D_хf=А×Dx+a×Dx Þ =A+aÞ =A.

Последнее означает, что f¢_х(х₀,у₀) существует и f¢_х(х₀,у₀)=А.

Аналогично устанавливается, что f¢_у(х₀,у₀) существует и f¢_у(х₀,у₀)=В. Ч.т.д.

Теорема 4. Если у функции u=f(х,у) в точке М₀(х₀,у₀) существуют конечные f¢_х(х₀,у₀) и f¢_у(х₀,у₀), то из этого не следует дифференцируемость этой функции в точке М₀(х₀,у₀). Более того, из существования конечных f¢_х(х₀,у₀) и f¢_у(х₀,у₀) не следует даже непрерывность функции в точке М₀(х₀,у₀).

Пример. f(х,у)=

У этой функции существуют конечные f¢_х(0,0)=0 и f¢_у(0,0)=0, но эта функция в точке О(0,0) не является непрерывной в этой точке.

Понятие дифференцируемости функции 3-х и более переменных вводится аналогично:

Функция f(x₁,…,x_n) называется дифференцируемой в точке М₀( ,…, ), если ее приращение Df, вычисленное для этой точки, представимо в виде:

Df=А₁×Dх₁+А₂×Dх₂+…+A_n×Dх_n+a₁Dx₁+a₂Dx₂+…+a_nDx_n, где А₁,А₂,…,A_n – некоторые постоянные числа, a₁,a₂,…,a_n®0 при r®0, где r=

Производные сложных функций.

Теорема 1. Пусть функция u=f(х,у) определена в некоторой открытой области Е и имеет там непрерывные частные производные u¢_x=f¢_x(x,y) и u¢_у=f¢_у(x,y). Пусть функции х=j(t) и y=y(t) определены в промежутке (a,b) и имеют там конечные производные x¢_t=j¢(t), y¢_t=y¢(t). Пусть функции j(t) и y(t) такие, что " tÎ(a,b) точка (j(t),y(t))ÎЕ. Тогда имеет смысл сложная функция u=f(j(t),y(t))=F(t), tÎ(a,b) и " tÎ(a,b) существует конечная производная u¢_t, причем

(8)

(здесь t – независимая переменная, а х,у – промежуточные аргументы.)

Доказательство. Зафиксируем любое t₀Î(a,b). Пусть j(t₀)=х₀ и y(t₀)=у₀ (точка (х₀,у₀)ÎЕ), f(х₀,у₀)=u₀. Дадим t₀ приращение Dt¹0 и t₀+DtÎ(a,b).

Пусть j(t₀+Dt)=х₀+Dх, y(t₀+Dt)=у₀+Dу, f(x₀+Dx,y₀+Dy)=u₀+Du.

Здесь Du=f(x₀+Dx,y₀+Dy)-f(x₀,y₀) – полное приращение функции u=f(х,у) в точке (х₀,у₀). Для Du справедлива формула (1)

Du=f¢_х(х₀,у₀)×Dx+f¢_у(х₀,у₀)×Dy+a×Dx+b×Dy, где a,b®0 при r®0.

Тогда =f¢_х(х₀,у₀)× +f¢_у(х₀,у₀)× +a× +b× (9)

По условию, функции j(t) и y(t) имеют в (a,b) конечные производные j¢(t), y¢(t). Следовательно они непрерывны в (a,b), в частности непрерывны в t₀. Но тогда Dх®0 и Dу®0 при Dt®0 Û r®0, если Dt®0 . Переходя в (9) к пределу при Dt®0, получим

=f¢_х(х₀,у₀)× +f¢_у(х₀,у₀)×

Следовательно, в точке t₀ существует конечная производная , причем

=f¢_х(х₀,у₀)× +f¢_у(х₀,у₀)×

Т.к. точка t₀ была выбрана произвольно, то ч.т.д.

Доказанная формула (8) распространяется и на случай функции от любого числа переменных. Т.е. когда независимая переменная одна, а промежуточных аргументов n:

(10)

Теорема 2. Пусть функция u=f(x₁,…,x_n) определена в некоторой открытой области ЕÌRⁿ и имеет там непрерывные частные производные = , = ,…, = . Пусть функции x₁=j₁(t₁,t₂,…,t_m), x₂=j₂(t₁,t₂,…,t_m),…,x_n=j_n(t₁,t₂,…,t_m) определены в области Е^*ÌR^m и имеют там частные производные:

, ,…, ; , ,…, ;…; , ,…, ;

Пусть функции j₁(t₁,t₂,…,t_m), j₂(t₁,t₂,…,t_m),…,j_n(t₁,t₂,…,t_m) такие, что "(t₁,t₂,…,t_m)ÎЕ^*Þ, что точка (j₁(t₁,t₂,…,t_m), j₂(t₁,t₂,…,t_m),…,j_n(t₁,t₂,…,t_m))ÎЕ.

Тогда имеет смысл сложная функция

u=f(j₁(t₁,t₂,…,t_m), j₂(t₁,t₂,…,t_m),…,j_n(t₁,t₂,…,t_m))=F(t₁,t₂,…,t_m) в Е^*.

и "(t₁,t₂,…,t_m)ÎЕ^* существуют частные производные , ,…, , причем

= + +…+ ,

= + +…+ ,

……………………………………………………………

= + +…+ .

Доказательство. Чтобы вычислить нужно в каждой из функций j₁(t₁,t₂,…,t_m), j₂(t₁,t₂,…,t_m),…,j_n(t₁,t₂,…,t_m) зафиксировать переменные t₂,…,t_m. Но зафиксировав t₂,…,t_m, мы будем в условиях теоремы 1 (или ее обобщения), т.е. получим сложную функцию одной независимой переменной t₁. Следовательно, существует конечная , причем = + +…+ .

(мы воспользовались формулой (10), только вместо следует писать , а вместо , ,…, соответственно , ,…, .

Чтобы вычислить (k=2,3,…,m) нужно в каждой из функций j₁(t₁,t₂,…,t_m), j₂(t₁,t₂,…,t_m),…,j_n(t₁,t₂,…,t_m) зафиксировать все переменные, кроме t_k, а затем дифференцировать полученную сложную функцию одной переменной t_k. Тогда по теореме 1 (или ее обобщению), заключаем, что существует конечная , причем

= + +…+ (k=2,3,…,m) ч.т.д.

Полный дифференциал функции.

Пусть функция u=f(х,у) определена в некоторой открытой области Е, содержащей точку (х₀,у₀). Пусть функция u=f(х,у) дифференцируема в этой точке. Возьмем Dx и Dy-любые, но такие, чтобы точка (x₀+Dx,y₀+Dy)ÎЕ. Выражение

f¢_х(х₀,у₀)×Dx+f¢_у(х₀,у₀)×Dy (10)

называется полным дифференциалом функции u=f(х,у) в точке (х₀,у₀) и обозначается df(х₀,у₀) или du(х₀,у₀).

По определению df(х₀,у₀)=f¢_х(х₀,у₀)×Dx+f¢_у(х₀,у₀)×Dy (11)

df(х₀,у₀) зависит от 4-х не связанных между собой величин х₀, у₀,×Dx,×Dy.

Т.к. Dx=dx,×Dy=dy, то (11) можно переписать:

df(х₀,у₀)=f¢_х(х₀,у₀)×dx+f¢_у(х₀,у₀)×dy

или du= dx+ f¢_ydy (12)

Т.о. полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов, т.е. du=d_xu+d_yu.

Тогда формулу для полного приращения функции

Du=f¢_х(х₀,у₀)×Dx+f¢_у(х₀,у₀)×Dy+a×Dx+b×Dy, где a,b®0 при r®0 можно записать так

Du=df(х₀,у₀)+a×Dx+b×Dy (13), где a,b®0 при r®0

(a×Dx+b×Dy)=о(r) при r®0. Тогда из (13) следует, что полный дифференциал функции u=f(х,у) в точке (х₀,у₀) при r®0 отличается от полного приращения функции в этой точке на величину бесконечно малую более высокого порядка, чем r= .

Этим пользуют при приближенных вычислениях.

Инвариантность формы полного дифференциала.

Пусть функция u=f(х,у) определена в некоторой открытой области Е_ху и имеет там непрерывные частные производные u¢_x=f¢_x(x,y) и u¢_у=f¢_у(x,y). Пусть функции х=j(t,h) и y=y(t,h) определены в области Е_th и имеют там конечные производные x¢_t, x¢_h, y¢_t, y¢_h. Пусть функции j(t,h) и y(t,h) такие, что "(t,h)ÎЕ_th точка (j(t,h),y(t,h))ÎЕ_xy. Тогда имеет смысл сложная функция u=f(j(t,h),y(t,h))=F(t,h). При этом функция F(t,h) дифференцируема в каждой точке (t,h)ÎЕ_th и

du=u¢_xdx+u¢_ydy (14)

Т.е. соотношение (14) справедливо как в случае, когда х и у – независимые переменные, так и в случае, когда х и у – функции новых переменных.

Доказательство. (с.71-72).

Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.

Пример.

Вычислить объем материала, нужного для изготовления цилиндрического стакана размеров: Радиус внутреннего цилиндра R, высота внутреннего цилиндра H, толщина стенок и дна стакана k.(Рисунок)

1)Точное решение. Искомый объем V равен разности объемов внешнего и внутреннего цилиндров. Т.к. радиус внешнего цилиндра равен R+k, а высота H+k, то

V=π(R+k)²(H+k)-πR²H

(формула объема цилиндра - V=πR²H)

или V=π(2RНk+R²k+Hk²+ 2Rk²+k²)

Приближенное вычисление.Обозначим через f объем внутреннего цилиндра, тогда f=πR²H.