Найти производные данных функций.

1) у=х5+ -cos x

Решение:

y’=(х5+ -cos x)’=5x4+ ’+sin x=5x4 +sin x=5x4 +sin x

Ответ: y’ =5x4 +sin x.

2) у=(х3-5) ех

Решение:

у’=((х3-5) ех)’=( х3-5)’ ех +( х3-5)( ех)’=3x2ех+( х3-5) ех =( х3+3x2-5) ех

Ответ: y’ =( х3+3x2-5) ех.

3)

Решение:

Ответ:

4) y=ln(sin5x+x2)

Решение:

y’=

Ответ: y’=

5)

Решение:

Ответ:

6) y=

Решение:

y’=

Ответ: y’=

7) у=(sinx)cosx

Решение:

Применим логарифмическое дифференцирование:

Логарифмируя по основанию е находим: lny=ln(sinx)cosx

Применим основное свойство логарифма: lny=cosx·lnsinx

Дифференцируем обе части равенства: (lny)’=(cosx·lnsinx)’

Ответ:

8) y3+x2cosy=2

Решение:

Дифференцируем обе части равенства: (y3+x2cosy)’=(2)’

3y2y’+(x2)’cosy+x2(cosy)’=0

3y2y’+2xcosy-x2siny·y’=0

2xcosy=x2siny·y’-3y2y’

y’(x2siny-3y2)=2xcosy

Ответ:

Задача № 3_.

Найти первую и вторую производные данных функций:

1) y=x2esinx

Решение:

y=x2esinx

Ищем первую производную:

y’=(x2esinx)’

y’=(x2)’esinx+x2(esinx)’

y’=2xesinx+x2cosx·esinx

Ищем вторую производную:

y’’=(2xesinx+x2cosx·esinx)’

y’’=(2x)’esinx +2x(esinx)’+(x2)’cosx·esinx+ x2(cosx·esinx)’

y’’=2esinx +2xcosx·esinx+2xcosx·esinx+ x2((cosx)’esinx +cosx(esinx)’)

y’’=2esinx +4xcosx·esinx+x2(-sinx·esinx +cos2x·esinx)

y’’=2esinx +4xcosx·esinx-x2sinx·esinx + x2cos2x·esinx

Ответ: y’=2xesinx+x2cosx·esinx; y’’=2esinx +4xcosx·esinx-x2sinx·esinx + x2cos2x·esinx

2) x=2cost; y=3sint

Решение:

Ответ:

Задача № 4_.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить график:

Решение:

1) Область определения D(у)=(-∞; 1)U(1; ∞), то есть функция непрерывна на своей области определения, х=1 - точка разрыва, исследуем поведение функции вокруг этой точки.

следовательно, х=1 - вертикальная асимптота.

2) Так как область определения D(у) не симметричное относительно нуля множество, то функция не является ни чётной, ни нечётной, а её график не симметричен ни относительно оси OY, ни относительно начала координат (0; 0).

3) у(х)∩ОХ в точке (0; 0),

так как при у=0 Þ

4) у(х)∩ОY в точке (0; 0),

так как при x=0 Þ

5) Вычислим у¢(х)

функция возрастает на [-2; 0]; функция убывает на (-∞; -2]; [0; 1); (1; +∞)

x=0 - точка max у=0 – max;

х=-2 – точка min y=-4/27 – min.

6) Вычислим у²(х)

функция выпукла на (-∞; -2-√3]; [-2+√3; +∞); функция вогнута на [-2-√3; -2+√3]; (1; +∞);

х=-2±√3 – точки перегиба;

7) y=kx+b – уравнение наклонной (горизонтальной) асимптоты, где

итак, у=0 – уравнение горизонтальной асимптоты.

Строим график:

Задание 5.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

f(x)=x3-3x2-9x+2, [-2; 4]

Решение:

Область определения D(у)=R, точек разрыва нет и, следовательно, функция имеет наибольшее и наименьшее значения, которые она принимает либо в критических точках, принадлежащих отрезку, либо на концах отрезка.

Находим критические точки функции: f’(x)=(x3-3x2-9x+2)’=3x2-6x-9

f’(x)=0 => 3x2-6x-9=0 => x2-2x-3=0 => две критические точки,

принадлежащие отрезку [-2; 4].

Находим значения функции в критических точках (так как обе они принадлежат исследуемому отрезку) и на концах отрезка и из них выбираем наибольшее и наименьшее:

f(-2)= (-2)3-3(-2)2-9(-2)+2=0;

f(-1)= (-1)3-3(-1)2-9(-1)+2=7 – наибольшее значение;

f(3)=33-3·32-9·3+2=-43 – наименьшее значение;

f(4)=43-3·42-9·4+2=-18;

Итак,

Ответ:

Наши рекомендации