Решение. Согласно приведенному мнемоническому правилу система диф­ференциальных уравнений Колмогорова имеет вид

Согласно приведенному мнемоническому правилу система диф­ференциальных уравнений Колмогорова имеет вид

(2.9)

Начальные условия при

Рассмотрим, что произойдет с системой описываемой диф­ференциальными уравнениями Колмогорова, при Известно, что в случае сообщающихся состояний функции стремятся к предельным (финальным) вероятностям состояний си­стемы Финальные вероятности не зависят от времени. Поэтому в системе дифференциальных уравнений Колмогорова все левые части уравнений (производные) принимают равными нулю. При этом система дифференциальных уравнений превратится в систему линейных алгебраических уравнений.

Для нашего примера система (2.9) будет иметь вид

(2.10)

Решая ее с учетом условия получим

все предельные вероятности. Эти вероятности представляют собой не что иное, как среднее относительное время пребывания систе­мы в данном состоянии.

Рис. 2.5. Граф состояний системы S

Состояния Si, S₂ и S₅ — несущественные, так как из S_{ можно уйти, например, в состояние S₂ и не вернуться, а из состояния S₂ — в состояние 5₃ или 5₄ и не вернуться, аналогично из состояния S₅ - в состояние 5₆ и З^. Состояния 5₃, 5₄, 5₆ и S₇ — существенные состояния.

Теорема. При конечном числе состоянии для существова­ния финальных вероятностей необходимо и достаточно, чтобы из каждого существенного состояния можно было (за какое-то число шагов) перейти в каждое другое существенное состояние. Граф из примера рис. 2.5 этому условию не удовлетворяет, так как из существенного состояния S₄ нельзя перейти в существенное состояние S₇. Если система S имеет конечное число состояний S^ S₂, ..., S_n, то для существования финальных вероятностей достаточ­но, чтобы из любого состояния системы можно было (за какое-то число шагов) перейти в любое другое состояние.

Если число состояний S_{, S₂, ..., S_n бесконечно, то это условие перестает быть достаточным, и существование финальных вероят­ностей зависит не только от графа состояний, но и от интенсивно­сти А,0.

При исследовании непрерывных марковских цепей, как было уже отмечено, часто бывает удобно представить переход системы из состояния в состояние как воздействие каких-то потоков собы­тий (поток заявок на обслуживание, поток автомобилей, поток до­кументов и т. п.). Различают следующие основные свойства, кото­рыми могут обладать случайные потоки событий:

• стационарность;

• ординарность;

• отсутствие последействия.

Свойство стационарности проявляется в том, что вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени т за­висит только от длины участка и не зависит от расположения на оси О/. Другими словами, стационарность означает неизменность вероятностного режима потока событий во времени. Поток, обла­дающий свойством стационарности, называют стационарным. Для стационарного потока среднее число событий, воздействующих на систему в течение единицы времени, остается постоянным. Реаль­ные потоки событий в экономике предприятия являются в дейст­вительности стационарными лишь на ограниченных участках вре­мени.

Свойство ординарности потока присутствует, если вероятность попадания на элементарный участок времени двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с длиной этого участка. Свойст­во ординарности означает, что за малый промежуток времени прак­тически невозможно появление более одного события. Поток, об­ладающий свойством ординарности, называют ординарным. Реаль­ные потоки событий в различных экономических системах либо являются ординарными, либо могут быть достаточно просто приве­дены к ординарным.

Отсутствие последействия — это свойство потока, которое со­стоит в том, что для любых непересекающихся участков времени количество событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другие участки времени. Поток, обладающий свойством отсутствия последействия, называют пото­ком без последействия. Поток событий, одновременно обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последей­ствия, называется простейшим потоком событий.

Под интенсивностью потока понимают

(2.11)

Для простейшего потока интенсивность Если поток

событий не имеет последействия, ординарен, но не стационарен, то его называют нестационарным пуассоновским потоком, а его ин­тенсивность зависит от времени, т. е.

В пуассоновском потоке событий (стационарном и нестацио­нарном) число событий потока, попадающих на любой участок, распределено по закону Пуассона:

(2.12)

Для простейшего потока а для нестационарного пуассо-

новского потока

(2.13)

Отметим еще одно важное свойство простейшего потока собы­тий. Промежуток времени / между соседними событиями распреде­лен по показательному закону, а его среднее значение и среднее квадратическое отклонение а равны, т. е.

(2.14)

где — интенсивность потока.

Рассмотрим еще одну типичную схему непрерывных марков­ских цепей, так называемую схему гибели и размножения, часто встречающуюся в разнообразных практических задачах.

Марковский процесс с дискретными состояниями ..., S_n называется процессом гибели и размножения, если все состоя­ния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний может переходить только в соседние со-

стояния, которые, в свою очередь, переходят обратно, а крайние со­стояния переходят только в соседние состояния (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Граф состояний для процесса гибели и размножения

Название взято из биологических задач, где состояние популя­ции означает наличие в ней единиц особей.

Переход вправо связан с размножением единиц, а влево — с их гибелью.

— интенсивности размножения, — интенсивности гибели.

У X и [I индекс того состояния, из которого стрелка выходит.

С состоянием связана неслучайная величина если систе­ма в момент времени / находится в состоянии , то дискретная случайная величина , связанная с функционированием систе­мы, принимает значение к. Таким образом, получаем случайный процесс , который в случайные, заранее неизвестные моменты времени скачком изменяет свое состояние.

Марковским процессом гибели и размножения с непрерывным вре­менем называется такой случайный процесс, который может при­нимать только целые неотрицательные значения. Изменения этого процесса могут происходить в любой момент времени, т. е. в лю­бой момент времени он может либо увеличиться на единицу, либо уменьшиться на единицу, либо остаться неизменным.

В практике встречаются процессы чистого размножения и чис­той гибели. Процессом чистого размножения называется такой про­цесс гибели и размножения, у которого интенсивности всех пото­ков гибели равны нулю; аналогично процессом чистой гибели называется такой процесс гибели и размножения, у которого ин­тенсивности всех потоков размножения равны нулю.

Пример 2.4. Рассмотрим эксплуатацию моделей автомобилей одной марки в крупной транспортной фирме (на предприятии). Интенсивность поступления автомобилей на предприятие равна Каждый поступивший на предприятие автомобиль списывает­ся через случайное время Срок службы автомобиля распре­делен по показательному закону с параметром Процесс эксплуа­тации автомобилей является случайным процессом. — число ав­томобилей данной марки, находящихся в эксплуатации в момент t.

Найдем одномерный закон распределения случайного процесса если:

1) нет ограничений на число эксплуатируемых машин;

2) на предприятии может эксплуатироваться не более п автомо­билей.

Решение

1. Случайный процесс эксплуатации автомобилей есть процесс гибели и размножения, размеченный граф которого представлен на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Граф состояний

Система уравнений Колмогорова, соответствующая этому гра­фу, имеет вид

(2.15)

где / = 1, 2,...

Если в начальный момент времени на предприятии не бы-

ло ни одного автомобиля, то решать эту систему уравнений нужно при начальных условиях Если при

на предприятии было автомобилей то началь-

ные условия будут иметь вид

2. Если на предприятии может эксплуатироваться не более п автомобилей моделей одной марки, то имеет место процесс гибели и размножения с ограниченным числом состояний л, размеченный граф которого представлен на рис. 2.8.

Рис.2.8. Граф состояний

Система уравнений Колмогорова для размеченного графа (рис. 2.8) имеет вид:

(2.16)

Эту систему надо решать при начальных условиях, рассмотрен­ных выше. Решения систем уравнений (2.15) и (2.16) являются од­номерными законами распределения Отыскание решений си­стем (2.15) и (2.16) в общем виде при произвольном виде функции

представляет значительные трудности и не имеет практических приложений.

При постоянных интенсивностях потоков гибели и размноже­ния и конечном числе состояний будет существовать стационар­ный режим. Система S с конечным числом состояний (п + 1), в ко­торой протекает процесс гибели и размножения с постоянными интенсивностями потоков гибели и размножения, является про­стейшей эргодической системой. Размеченный граф состояний для такой системы представлен на рис. 2.9.

Предельные (финальные) вероятности состояний для простей­шего эргодического процесса гибели и размножения, находящегося в стационарном режиме, определяются по следующим формулам:

(2.17)

Рис.2.9. Граф состояний

(2.18)

Правило. Вероятность к-то состояния в схеме гибели и размножения равна дроби, в числителе которой стоит произве­дение всех интенсивностей размножения, стоящих левее , а в знаменателе — произведение всех интенсивностей гибели, сто­ящих левее , умноженной на вероятность крайнего левого со­стояния системы

В примере 2.4 для стационарного режима если интенсивность поступления автомобилей постоянная то фи-

нальные вероятности состояний при условии, что нет ограничений на число автомобилей на предприятии, равны:

(2.19)

(2.20)

При этом математическое ожидание числа эксплуатируемых ав­томобилей равно его дисперсии:

(2.21)

Если существует ограничение по числу автомобилей на пред­приятии (не более я), то финальные вероятности равны

(2.22)

(2.23)

Математическое ожидание числа эксплуатируемых автомоби­лей в стационарном режиме

(2.24)

Пример 2.5.В состав ЭВМ входят четыре накопителя на маг­нитных дисках (НМД). Бригада в составе четырех человек обслу­живающего персонала проводит профилактический ремонт каждо­го диска. Суммарный поток моментов окончания ремонтов для всей бригады — пуассоновский с интенсивностью . После окон­чания ремонта диск проверяется; с вероятностью Р он оказывает­ся работоспособным (время проверки мало, и им можно прене­бречь по сравнению со временем профилактики). Если диск ока­зался неработоспособным, то вновь проводится его профилактика (время на которую не зависит от того, проводилась ли она ранее) и т.д. В начальный момент все НМД нуждаются в профилактиче­ском ремонте¹.

Требуется:

1) построить граф состояний для системы (четыре НМД);

2) написать дифференциальные уравнения для вероятностей состояний;

3) найти математическое ожидание числа дисков , успешно прошедших профилактику к моменту ,