Уравнения, содержащие модуль

При решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов. Напомним, что , если .

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля, отмечаем на числовой оси полученные значения, исследуем уравнение в каждом из полученных интервалов:

а) если , то и уравнение переписывается так: , т.е. , ;

б) если , то , , и поэтому имеем , и т.к. , то в промежутке корней нет;

в) если , то получаем , т.е. , ; наконец,

г) если , то , , .

О т в е т: , .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.

а) , тогда , , ;

б) , тогда , , - любое из ;

в) , тогда , , .

О т в е т: .

Пример 3. Найти корни уравнения .

Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим эквивалентное уравнение , т.е.

, т.е.

, , .

О т в е т: , .

Пример 4. решить уравнение .

Решение. Это уравнение эквивалентно совокупности систем

и

Отсюда находим, что , .

О т в е т: , .

Пример 5. Указать все корни уравнения .

Решение. Это уравнение с параметром а. Оно эквивалентно совокупности систем и .

Находим, что , , но должно выполняться условие , т.е. . Стало быть, , т.е. и , т.е. .

При имеем .

О т в е т: если , то ; если , то .

З а д а ч и.Решить уравнения.

1)

2)

3)

8. Геометрические задачи

1. Найти смежные углы, если их градусные меры относятся как 3:7.

2. Величины углов треугольника относятся как 1:2:3. Большая сторона имеет длину 8 м. Найти длины меньшей стороны и медианы большей стороны.

Ответ: 4 м,4 м.

3. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 6 см. Найти длины сторон треугольника, если его периметр равен 32 см.

4. Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, которые удалены от центра на 3 см и 5 см. Найти их длины.

5. В равнобочной трапеции большее основание равно 2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол между ними 60 градусов. Найти меньше основание.

Ответ: 1,7 м.

6. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 30 см, а средняя линия равна 9 см. Найти длину каждой из боковых сторон трапеции.

Ответ: 6 см.

7. Сторона треугольника равна 20 см, а противолежащий ей угол 150 градусов. Найти радиус описанной окружности.

Ответ: 20 см.

8. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника соответственно равны 2 м и 5 м. Найти катеты треугольника.

Ответ: 6 м и 8 м.

9. Даны три стороны треугольника. Найти его углы, если a=55, b=21, c=38.

10. Даны сторона и два угла треугольника. Найти третий угол и остальные две стороны, если c=14, , .

11. Найти все элементы прямоугольного треугольника с прямым углом С, если известно, что

a) a=6,4; b=50

b) b=65; c=69

c) ,

d) a=114,

e) a=18,

f) ,

12. Найдите площадь параллелограмма, если его большая диагональ 5 м, а высота 2 м и 3 м.

13. Найдите площадь трапеции у которой основания 69 см и 20 см, а боковые стороны 13 см и 37 см.

14. Найти стороны ромба, если его диагонали относятся как 3:4, а площадь равна .

15. Найти площадь равнобедренного треугольника, если его периметр равен 50 дм, а основание меньше боковой стороны на 1 дм.

16. Найти площадь круга, если длина окружности равна 8 м.

Примерное контрольное задание.

Решить уравнение

Решить задачу

С туристической базы вышел пешеход, его скорость 4 км/ч. Через 4,5 ч по той же дороге выехал автомобиль со скоростью 76 км/ч. На каком расстоянии от базы автомобиль догонит пешехода?

3. Постройте график функции , записав аналитическое задание функции у:

Вершиной графика является точка М (2;4), и график проходит через точку А (1;5).

Решить задачу

Один из катетов прямоугольного треугольника меньше гипотенузы на 2 см. Сумма трех сторон равна 12 см. Найдите её стороны.

5. Решить графически уравнение:

10. Основные формулы

1. Свойства степени с рациональным показателем:

; ;

; ;

; ;

; .

2. Действия с корнями:

; ; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

;

Если , .

Если , то .

натуральное).

3. Формулы сокращенного умножения:

² = a² + 2ab + b²;

(a - b) ² = a² – 2ab + b² ;

³ = a³ + 3a² b + 3ab² + b³ ;

(a – b)³ = a³ - 3a² b + 3ab² - b³ ;

(a + b)(a - b)= a² - b²;

(a + b)( a² – ab + b²)= a³ + b³ ;

(a - b)( a² + ab + b²)= a³ - b³ ;

(a – b + c) ² = a² + b² + c² – 2ab + 2ac – 2bc;

a² + b² = (a + b) ² – 2ab;

a² + b² = (a - b) ² + 2ab;

4. Квадратное уравнение:

ax² + bc + c = 0 (a 0), x_1,2 = ;

ax² + 2kx + c = 0 (a 0) x_1,2 = (k² – ac 0);

x² + px + q = 0, x_1,2 = .

Формулы Виета: , .

Формулы разложения квадратного трехчлена на линейные множители:

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂) .

5. Прогрессии:

формула общего члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + (n - 1)d;

формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

;

формула общего члена геометрической прогрессии:

;

формула суммы первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q 1: ;

формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

.

6. Площади многоугольников:

площадь прямоугольника с основанием a и высотой b: S = ab;

площадь параллелограмма с основанием a и высотой h: S = ah;

площадь треугольника с основанием a и высотой h: ;

площадь треугольника со сторонами a, b, c : sin , где - угол между сторонами b и c;

, где , r – радиус вписанной в треугольник окружности;

, где R – радиус описанной около треугольника окружности;

формула Герона: , где ;

площадь трапеции с основаниями a, b и высотой h: ;

площадь правильного многоугольника: , где P – периметр многоугольника, r – радиус вписанной в него окружности;

площадь правильного n-угольника: sin , где R – радиус описанной окружности.

Сторона правильного n-угольника:

sin ; cos ;

sin ; sin ; sin .

7. Окружность, круг:

длина окружности: C = pD = 2pR;

длина дуги окружности, отвечающая центральному углу в : ;

площадь круга: S =pR²;

площадь кругового сектора: ;

площадь сегмента с радианной мерой центрального угла a: .

Литература

1. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Начала анализа. – М.: Наука, 1990

2. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Алгебра. – М.: Наука, 1989.

3. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. – М.: Наука, 1989.

4. Нестеренко Ю.В. и др. Задачи вступительных экзаменов по математике. – М.: Наука, 1983

5. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы / Под редакцией Сканави М.И. – М.: Высшая школа, 1980.

6. Цыпкин А.Г. Справочник по математике. – М.: Наука, 1983.