Двухопорная балка постоянного сечения

Аналогично п. 1.4.2 получаем

, (27)

, (28)

. (29)

Прогиб по середине балки

. (30)

Из условия

(31)

после интегрирования и преобразований получаем

, (32)

а для любого сечения x балки

. (33)

В табл. 1 приведены формулы для определения приведённых масс.

Определение жесткости элементов, механизмов и машин

Под жесткостью механической системы или отдельного её элемента понимают отношение нагрузки к вызываемой ею деформации.

В общем, виде линейная жесткость равна

, , (34)

а угловая жесткость

, , (35)

где P – растягивающее, сжимающее или изгибающее усилие;

Таблица 1

Формулы для определения приведенных масс

	При x=L

y – перемещение в сечении, в котором прикладывается деформирующее усилие;

M – крутящий момент;

– угол закручивания в сечении, в котором прикладывается крутящий момент.

Для конкретных элементов (стержни, валы переменного сечения, балки, пружины, рессоры и т.п.) методами теории упругости находят деформацию элемента (y или ) в рассматриваемом сечении и определяют его жесткость.

Жесткость элемента зависит от следующих факторов:

- материал (Е, G);

- форма поперечного сечения (за исключением растяжения и сжатия);

- место (координата) приложения нагрузки;

- способ закрепления концов.

Иногда в расчетах удобнее пользоваться понятием податливость

, . (36)

Для определения жесткости элементов сложной формы (лопасти, вилки, зубья шестерен и т.п.) часто используют эмпирические формулы, включающие различные коэффициенты, учитывающие соотношения размеров элементов.

В табл. 2 приведены формулы для определения жесткости элементов, наиболее часто встречающихся в машинах и механизмах металлургических машин.

Приведение жесткостей системы

Жесткости звеньев, соединяющих приведенные массы, также должны быть приведенными.

Рассмотрим систему, состоящую из поступательно движущихся масс (рис. 12а), нагруженных силами , , , , …, .

Если приведение системы производят к массе m_П, приведенная жесткость расчетной системы определяется следующим образом.

Статическая сила P₁, действующая на массу m₁, вызовет перемещение за счет упругой деформации звена c₁; перемещение массы m₂, соответственно, равно , перемещение следующей массы m₃ составит и т.д., т.е. перемещение массы m₁ под действием силы P₁

(37)

Таблица 2

Формулы для определения жесткости элементов систем*

Схема элемента	Описание элемента	Жесткость, податливость
	Стержень постоянного сечения (S=const)
	Плоский стержень трапецеидального профиля (S=var)
	Ступенчатый стержень	При x=L
	Консольная балка при I=const
	Консольная балка при Ix=var, I – в сечении заделки
	Консольная балка при Ix=var, I – в сечении заделки	При

* S и I – площадь и момент инерции поперечного сечения соответственно.

Продолжение табл. 2

	Двухопорная балка при I=const
	Двухопорная балка с заделкой одного конца при I=const
	Балка с жесткой заделкой концов при I=const
	Вал постоянного диаметра
	Ступенчатый вал
	Полый вал
	Деталь типа шкива

Продолжение табл. 2

	Конический вал
	Зубчатое колесо α=20˚ – угол зацепления; z – число зубьев;	, или
	Муфта: dб – диаметр болта; z – число болтов.
	Вилка универсального шпинделя
	Прямоугольный элемент γ – коэффициент, учитывающий соотношение b/h	b/h 2,0 2,5 3,0 4,0 γ 0,23 0,25 0,26 0,28
	Плоская пружина: δ – толщина; b – ширина пружины

Продолжение табл. 2

	Плоская пружина с промежуточной опорой
	Цилиндрическая винтовая пружина: D – средний диаметр пружины; d – диаметр проволоки; i – число витков
	Коническая винтовая пружина: D и d1 – наибольший и наименьший диаметры пружины; d – диаметр проволоки; i – число витков
	Мембрана, свободно опертая по периметру: δ – толщина мембраны; ν – коэффициент Пуассона
	Мембрана, защемленная по периметру
	Спиральная пружина: δ и b – толщина и ширина сечения витков пружины; L – полная длина пружины
	Винтовая пружина при кручении: D – диаметр пружины; d – диаметр проволоки; i – число витков

Перемещение той же массы m₁ под действием силы P₂

(38)

и так далее.

Полная деформация системы, т.е. перемещение массы m₁ составит

(39)

Нагрузка системы, приведенная к массе m₁(m_П),

(40)

Приведенная жесткость системы

(41)

Большинство машин воспринимает внешние нагрузки только крайними массами. Для этого случая в формуле (41) все силы, кроме P₁, должны быть равны нулю.

Тогда

. (42)

Для системы с вращающимися массами (рис. 12б) приведенная угловая жесткость равна

. (43)

Если в системе имеются движущиеся поступательно и вращающиеся части (массы), то жесткость может быть представлена либо как линейная, либо как угловая:

, (44)

или

, (45)

где R – радиус приведения линейной жесткости к угловой и обратно.