Ранг и базис конечной системы векторов

Определение. Рангом конечной системы векторов S называется максимальное число линейно независимых векторов данной системы.

т.е.

1) , которая содержит r линейно независимых векторов.

2) Любая , которая содержит больше чем r векторов, является линейно зависимой.

Свойства

Û

Определение. Элементарными преобразованиями системы векторов называются:

1) умножение какого-либо вектора системы на число, не равное нулю;

2) прибавление к какому-либо вектору системы другого вектора той же системы;

3) перестановка векторов местами;

4) вычеркивание (исключение) из системы вектора, являющегося линейной комбинацией остальных векторов системы;

5) приписывание к системе (ее пополнение) вектора, являющегося линейной комбинацией каких-либо векторов системы.

Определение. Подсистему данной конечной системы S будем называть базисом этой системы, если выполняются следующие условия:

1. - линейно независима

2. Каждый вектор системы S линейно выражается через систему .

Свойства

Любая конечная система векторов S, содержащая хотя бы один ненулевой вектор, имеет базис.

Доказательство.

Пусть для определенности вектор . Тогда система -линейно независима.

Рассмотрим 2 возможные ситуации:

1. Каждый вектор системы S линейно выражается через систему ,следовательно, система -базис.

2. Некоторый вектор нельзя линейно выразить через вектор , следовательно - линейно независима.

Для системы рассмотрим 2 возможные ситуации:

а) Каждый вектор системы S линейно выражается через систему система - базис.

б) , такой что - линейно независима и т.д.

Процесс выбора базиса завершится, так как S конечна. Свойство доказано.

Любые два базиса данной системы S имеют одинаковое число векторов.

Ранг данной системы векторов равен количеству векторов любого базиса данной системы.

Доказательство.

Пусть B – произвольный базис системы S. Тогда .

Так как , то по свойству 5) элементарных преобразований системы векторов .

Ранг матрицы

Определение. Напомним, что матрицей размера ( ) называется прямоугольная таблица чисел вида

.

В случае, когда значения m и n совпадают, матрицу будем называть квадратной матрицей порядка n:

.

Частным случаем матрицы размера является случай, когда одно из значений m или n равно 1: или , то есть матрица представляет из себя вектор-столбец или вектор-строку соответственно.

В общем случае каждая строка матрицы представляет собой n-мерный вектор, каждый столбец – m-мерный.

Транспонированной матрицей будем называть матрицу вида:

.

Единичной матрицей будем называть квадратную матрицу вида: , .

Рассмотрим матрицы и . Матрицы A и B будем называть равными, если они одинакового размера, и равны их соответствующие элементы.

Определение. Элементарными строчечными (столбцовыми) преобразованиями матрицы являются:

1. умножение строки (столбца) на число отличное от нуля;

2. перестановка местами строк (столбцов);

3. прибавление одной (-ого) строки (столбца) к другой (-ому) строке (столбцу);

4. исключение строки (столбца), являющейся (являющегося) линейной комбинацией остальных строк (столбцов) матрицы;

5. включение строки (столбца), являющейся (являющегося) линейной комбинацией остальных строк (столбцов) матрицы.

Замечание. Если матрица A есть расширенная матрица некоторой системы линейных уравнений, то элементарные преобразования ее строк в точности соответствуют элементарным преобразованиям уравнений системы.

Определение. Строчечным (столбцовым) рангом матрицы A будем называть максимальное число линейно независимых вектор-строк (вектор-столбцов) матрицы.

Теорема. При любых элементарных строчечных преобразованиях матрицы строчечный и столбцовый ранги не меняются.

Теорема. Строчечный и столбцовый ранги матрицы равны.

Дано:

,

где и - строчечный и столбцовый ранги.

Доказать: .

Доказательство.

Приведем матрицу A с помощью элементарных строчечных преобразований к ступенчатому виду. Исключая из получившейся матрицы нулевые строки (если такие есть), получаем матрицу В.

~ .

Поскольку столбцы матрицы В являются векторами r-мерного пространства, получаем (с учетом предыдущей теоремы) последовательно:

(1)

(2)

Поскольку полученное неравенство справедливо для произвольной матрицы А, применяя те же рассуждения к А^Т, получаем:

(3)

На основе (2) и (3) можно сделать вывод о том, что: .

Следствие. .

Определение. Ступенчатой матрицей будем называть матрицу, удовлетворяющую следующим условиям:

1. если в i-ой строке матрицы первый ненулевой элемент стоит на k-ом месте, то в (i+1)-ой строке первые k элементов нули;

2. если i-ая строка – нулевая, то (i+1)-ая строка также нулевая.

Замечание. Именно к такому, т.е. ступенчатому, виду мы приводили расширенную матрицу системы линейных уравнений в методе Гаусса.

Теорема. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Доказательство.

Рассмотрим матрицу A порядка , приведенную к ступенчатому виду:

(*)

Теорема доказана.