Матрица Грама в евклидовом пространстве

Пусть Еn – n-мерное евклидово пространство и пусть е = (е1, е2,... , еn ) – базис в нём. Так как в Еnдля любой упорядоченной пары векторов определено их скалярное произведение, то определены скалярные произведения всех пар базисных векторов. Составим из них матрицу

Г = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru (41) Матрица Гназывается матрицей Грама скалярного произведения для базиса е. Используя матрицу Грама, можно получить формулу для вычисления

скалярного произведения векторов, заданных координатами.

Пусть в базисе е заданы векторы а = х1е1 + х2е2 + … + хnеn , в = у1е1+ у2е2 + … + уnеn . Тогда (а, в) =(х1е1 + х2е2 + … + хnеn)×( у1е1+ у2е2 + … + уnеn) = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru = х Т×Г×у, где х Т– строка координат вектора а, у – столбец координатвектора в . Итак, (а, в)= х Т×Г×у (42).

Свойства матрицы Грама.

10. Матрица Грама симметрична относительно главной диагонали.

Это следует из того, что (ек, еs ) = (еs , ек ).

20. Диагональные элементы матрицы Грама строго положительны.

Это следует из того, что ек ¹ 0 и, следовательно, (ек, ек ) > 0.

30. Для матрицы Грама и любого n-мерногостолбца х выполняется условие х Т×Г×х > 0.

Это следует из 4-ой аксиомы определения скалярного произведения.

Симметрическую матрицу А, удовлетворяющую условию х Т×А×х > 0 для любого

ненулевого столбца х, называют положительно определённой. Следовательно, матрица

Грама положительно определённая.

40. Пусть е = (е1, е2,... , еn ) и е1 = (е11, е21,... , еn1 ) –два базиса в Еn , Ги Г1 – матрицы Грама данного скалярного произведения в базисах е и е1 соответственно. Пусть Т – матрица перехода от базиса е к базису е1. Тогда (а, в)= х Т×Г×у, х = Т×х1, у = Т×у1, х Т= (Т×х1)Т= (х1)Т× ТТ. Следовательно, (а, в)= ((х1)Т× ТТ)× Г× (Т×у1) = (х1)Т× (ТТ× Г× Т )× у1. Но (а, в)= (х1)Т× Г1× у1. Отсюда

Г1 = ТТ× Г× Т (43)

Формула (42) даёт связь матриц Грама в разных базисах.

50. Определители матриц Грама во всех базисах имеют один и тот же знак.

Из формулы (42) следует ú Г1ú =ú ТТú ×úГú ×úТú = úГú ×úТú 2. Так как Тú 2> 0, то ú Г1ú и ú Гú имеют одинаковые знаки.

Примеры.

1. Во множестве М2 квадратных матриц с действительными элементами скалярное произведение задано формулой Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru . Найти матрицу Грама этого произведения в базисе е1 = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru , е2 = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru , е3 = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru , е4 = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru .

Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (е1, е1) = 1, (е1, е2) = (е2, е1) = 0, (е1, е3) = (е3, е1) = 0, (е1, е4) = (е4, е1) = 0, (е2, е2) = 1, (е2, е3) = (е3, е2) = 0, (е2, е4) = (е4, е2) = 0, (е3, е3) = 1, (е3, е4) = (е4, е3) = 0, (е4, е4) = 1. Следовательно,

Г = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru .

2. В пространстве R[х] многочленов степени не выше 3-х скалярное произведение задано формулой Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru , где a и b – фиксированные действительные числа, a < b. Составить матрицу Грама в базисе (1, х, х2, х3).

Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (1, 1) = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru = b – a,

(1, х) = (х, 1) = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru ), (1, х2) = (х2, 1) = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru ), (1, х3) = (х3, 1) = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru ), (х, х) = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru ), (х, х2) = (х2, х) = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru ), (х, х3) = (х3, х) = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru ), (х2, х2) = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru ), (х2, х3) = (х3, х2) = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru ), (х3, х3) = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru ). Матрица Грама будет иметь вид:

Г = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru .

3. В базисе (е1, е2, е3) пространства Е3 скалярное произведение задано матрицей Грама Г = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru . Найти скалярное произведение векторов а = (1, –5, 4) и в = (–3, 2, 7).

Решение. Используя формулу (41), получим (а, в) = (1, –5, 4) × Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru × Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru = 7.

Введение метрики в евклидовом пространстве

Пусть Еn – n-мерное евклидово пространство. Скалярное произведение вектора самого на себя назовём скалярным квадратом этого вектора, т.е. (а, а) = а2. По 4-ой аксиоме скалярного произведения а2 ³ 0.

Определение 47. Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного корня из скалярного квадрата этого вектора . т.е. ú аú = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru (44)

Свойства длины вектора:

1. Любой вектор а имеет длину и только одну, ú аú ³ 0.

2. ú a×аú = úaú×ú аú для любого а Î Еn .

3. Для любых векторов а и в из Еn верно неравенство ú а×вú £ú аú ×ú вú.

Доказательство. (а –aв)2 = а2 – 2a(а, в) + a2×в2 ³ 0 для любого a Î R. Так как квадратный трёхчлен неотрицателен при любом значении a, то его дискриминант неположителен, т.е. (а, в)2 – а2× в2 £ 0, или (а, в)2 £ а2× в2. Отсюда ú а×вú £ú аú ×ú вú (45). Знак равенства в этой формуле будет тогда и только тогда, когда векторы пропорциональны.

Определение 48.Вектор единичной длины называется единичным вектором или ортом.

40. Для любого ненулевого вектора существует пропорциональный с ним орт.

Если а ¹ 0, то ú аú ¹ 0. Следовательно, существует вектор а0 = Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru а. Очевидно, ú а0ú =1.

Определение 49. Углом между ненулевыми векторами аи Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ruназывается такое действительное число j , что Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru (46).

Угол между векторами а и Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ruможно также обозначатьМатрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru .

Свойства углов.

10.Для любых двух ненулевых векторов угол между ними определён.

Из формулы (44) следует, что Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru Следовательно, j существует.

20. Если a ¹ 0, b ¹ 0, то Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru .

Определение 48. Два ненулевых вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Ортогональные векторы обозначаются а ^ в.

30. Если а ^ в, a ¹ 0, b ¹ 0, то (aа)^ (bв).

40. Если а ^ в и а ^ с, то а ^ (в + с).

Определение 50. Множество всех векторов пространства Еn, ортогональных вектору а, к которому добавлен нулевой вектор, называется ортогональным дополнением вектора а.

50. Ортогональное дополнение к вектору а является (n – 1)-мерным евклидовым подпространством в Еn .

Доказательство.

Из свойств 30 и 40 следует, что рассматриваемое множество L является линейным подпространством в Еn . Так как в Еn определено скалярное произведение, то оно определено и в ортогональном дополнении, следовательно, L является евклидовым подпространством. Кроме того, с Î L Û (а, с) = 0 (*). Зафиксируем в Еn базис. Пусть а = (а1, а2, … , аn), с = (х1, х2, … , хn). Тогда с Î L Û а Т×Г×х = 0 (**). Уравнение (**) есть линейное однородное уравнение с n неизвестными. Фундаментальная система его решений состоит из (n – 1) решения. Следовательно, пространство решений уравнения (**) является (n – 1)-мерным.

Пусть Ек – подпространство пространства Еn. Обозначим Е Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru множество, состоящее из нулевого вектора и всех векторов, ортогональных любому ненулевому вектору из Ек .Иными словами с Î Е Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru Û (с, а) = 0 для всех а Î Ек . Пространство Е Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru ортогональным дополнением к пространству Ек .

60.Ортогональное дополнениеЕ Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru является (n – к)-мерным евклидовым подпространством в пространстве Еn .

Доказательство аналогично доказательству свойства 50.

70Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru Ç Ек = {0}.

80. Любые два ортогональных вектора линейно независимы.

Доказательство. Пустьа ^ в. По определению эти векторы ненулевые. Предположим, что они линейно зависимы, т.е. существует такая ненулевая пара a, b действительных чисел, что a×а + b×в = 0. Если a ¹ 0, то умножим обе части последнего равенства скалярно на вектор а.Получим a×а2+b×(а, в) = 0. Так как (а, в) = 0 и а2¹ 0, то a = 0. Противоречие. Следовательно, а и влинейно независимы.

90. Если а1, а2, … , ак и в1, в2, … , вs – две системы линейно независимых векторов и каждый вектор первой системы ортогонален любому вектору второй, то система векторов а1, а2, … , ак и в1, в2, … , вs линейно независима.

Теорема 42. Для любого к (1 £ к £ n ) Еn = Е Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru Å Ек .

Доказательство. Пусть (е1, е2,... , ек ) – базис в Ек и (ек +1, е к + 2,... , еn ) – базис в Е Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru . Из свойства 90 следует, что (е1, е2,... , ек, ек +1, е к + 2,... , еn ) будет линейно независимой. Так как в ней n векторов,то это базис в Еn . Следовательно, Еn = Е Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru + Ек .Из свойства 70 следует Еn = Е Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru Å Ек .

Пусть Еn = Е Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru Å Ек . Если а – любой вектор из Еn , то а = а1 + а2, где а1 Î Ек , а2 Î Е Матрица Грама в евклидовом пространстве - student2.ru . Вектор а1 называется проекцией вектора а на подпространство Ек .Вектор а2 называется ортогональной составляющей вектора а.

Наши рекомендации