Абсолютна величина числа і її властивості

Введення в математичний аналіз

Математичний аналіз (аналіз нескінченно малих) вивчає функції і їх узагальнення методом нескінченно малих величин.

У природі і техніці усюди спостерігаються рухи і процеси, що є проявом взаємодії між фізичними тілами або середовищами. Математичною моделлю рухів (тобто змінних величин) є функції, які виражають зміни одних величин зі зміною інших. Звідси слідує важливість математичного аналізу в прикладній математиці.

Основними розділами математичного аналізу є: диференціальне і інтегральне числення.

Дійсні числа

Поняття дійсних чисел було розглянуте раннє в розділі "Узагальнення поняття величини".

Сукупність раціональних і ірраціональних чисел утворює множину дійсних чисел.

Ірраціональні числа представляються нескінченним неперіодичним десятковим дробом. Наприклад, числа =1,414213., π = 3,141592., е = 2,718281. - є ірраціональними числами.

В той час, як раціональні числа, тобто числа виду представляються нескінченним періодичним десятковим дробом. Наприклад, 2 = 2,(0) = 1,(9), 1/3 = 0,(3), 13/7 = 1,(857142).

Множина дійсних чисел або числова пряма позначаються як R = { r }. Відмітимо деякі властивості цієї нескінченної множини чисел.

Передусім, R усюди щільно і утворює числовий континуум. Числова пряма R "подібна" до геометричної прямої, тобто між числами з R і точками на прямій можна встановити взаємно однозначну відповідність зі збереженням впорядкованості. Найважливішою властивістю числової прямої є її безперервність. Саме ця безперервність лежить в основі математичного аналізу і складає основу теорії границь.

Відмітимо також і іншу особливість числової множини R, яка взагалі характерна для багатьох нескінченних множин. Розглянемо поняття потужності нескінченної множини R , це поняття еквівалентно поняттю кількості членів кінцевої множини. Потужності нескінченних множин можуть бути різними, наприклад, множина натуральних чисел N, яка є підмножиною дійсних чисел (N R) має потужність рахункової множини, тоді як R має потужність континуальної множини. Покажемо, що потужність числового відрізку від нуля до одиниці має таку ж потужність, як і уся пів нескінченна числова пряма (від нуля до плюс нескінченність), тобто частина по потужності дорівнює цілому. Проведемо наступні міркування. Виділимо на пів нескінченній числовій осі одиничний відрізок. Поставимо у взаємно однозначну відповідність точки одиничного відрізку ОА з точками пів нескінченної прямої, таким чином (див. рис 4.1) :

Рис.4.1.

· початковій точці О піввісі Ox побудуємо одиничний відрізок OA під деяким кутом φ до півосі;

· проведемо перпендикуляр до числової осі з точки О;

· з кінця А одиничного відрізку OA проводиться лінія паралельна числовій осі;

· точку перетину цієї лінії з перпендикуляром позначимо як S і назвемо її проектором;

· проводиться промінь (довільним чином) з проектора S на числову піввісь. Він перетинає одиничний відрізок в точці М₁, а піввісь Ox в точці М .

Таким чином, встановлена взаємно-однозначна відповідність між точками одиничного відрізку ОА і точками півосі Ох. Кожній точці М₁ відрізку ОА за допомогою променя проектора відповідає точка М осі х, і навпаки. Точці О відрізу відповідає точка О вісі, а точка А відрізка відповідає нескінченно видалена точка осі. Отже потужність числової множині півосі дорівнює потужності числової підмножині одиничного відрізку.

Ці дві властивості множин дійсних чисел (властивість безперервності і властивість континуальності) дозволяють надалі проводити математичний аналіз безперервних змінних величин на будь-якому проміжку.

Помітимо, що кінцевий числовий відрізок еквівалентний по потужності одиничному відрізку, якщо зробити заміну змінною , .

Розглянемо далі деякі, числові множини, які часто використовуються.

Числові проміжки

Нехай a і b - два числа, причому a < b. Числовими проміжками називаються множина усіх дійсних чисел, що задовольняють нерівності :

1) a ≤ х ≤ b - відрізок (сегмент), позначення - [a, b]

різниця b - a називається довжиною відрізка;

2) a < х < b - інтервал, позначення - (a, b);

3) a ≤ х < b - півінтервал, позначення - [a, b);

4) a < х ≤ b - півінтервал, позначення - (a, b];

5) нескінченні інтервали

x ≤ b , (-∞, b]; x < b , (-∞, b); x ≥ a , [a, +∞); x > a , (a, +∞);

6) множина дійсних чисел -∞ < x <+∞), (-∞, +∞).

Числа a і b називаються відповідно лівим і правим кінцями цих проміжків.

Символи - ∞, +∞ не числа, а символічні позначення нескінченно видалених точок числової осі від початку 0 вліво та управо.

Абсолютна величина числа і її властивості

Абсолютна величина дійсного числа визначається наступним співвідношенням:

.