Розкладення визначника за елементами рядка (або

Метод координат.............................................................................24

Декартова система координат. Координати точки.......................24

1.2. Відстань між двома точками. Рівняння кола та сфери................26

1.3. Ділення відрізка у даному відношенні............................................28

1.4. Пряма лінія на площині.....................................................................30

1.5. Площина в просторі............................................................................34

1.6. Пряма лінія в просторі.......................................................................34

1.7. „За числами бачити фігури”.............................................................35

§2. Перетин прямих ліній і площин..................................................37

2.1. Знаходження точки перетину двох прямих ліній на площині...37

2.2. Знаходження точки перетину трьох площин у просторі.............40

2.3. Перетин двох прямих на площині; одна з прямих

задана канонічним рівнянням.................................................................45

2.4. Знаходження точки перетину прямої і площини..........................46

§3. Вступ до векторної алгебри..........................................................47

3.1. Поняття вільного вектора.................................................................47

3.2. Арифметичні операції над векторами.............................................50

3.2.1. Множення вектора на число.............................................................50

3.2.2. Сума двох векторів.............................................................................50

3.2.3. Різниця двох векторів........................................................................52

3.2.4. Поняття лінійної комбінації векторів.............................................

3.3. Координатне подання арифметичних операцій над векторами 53

Поняття одиничного декартового базису. Розкладення

векторів за базисом....................................................................................54

3.5. Скалярний добуток векторів, його обчислення і застосування.55

3.5.1. Означення і властивості скалярного добутку................................55

3.5.2. Застосування скалярного добутку...................................................56

3.6. Точки та їх радіус-вектори................................................................59

§4. Розв’язання задач лінійного програмування малої

розмірності засобами аналітичної геометрії............................62

4.1. Математична модель задачі лінійного програмування................62

4.1.1. Задача планування виробництва в умовах обмежених ресурсів.....62

4.1.2. Формалізація задачі планування виробництва в умовах

обмежених ресурсів......................................................................................62

4.1.3. Загальна структура задачі лінійного програмування.....................63

4.2. Розв’язання ЗЛП...................................................................................63

4.2.1. Побудова допустимої області ЗЛП..................................................63

4.2.2. Пошук оптимального допустимого розв’язку.................................65

4.3. Загальні властивості оптимального розв’язку ЗЛП..................... 66

4.3.1. Основна властивість оптимального розв’язку ЗЛП.......................66

4.3.2. Знаходження оптимального розв’язку ЗЛП методом

перебирання вершин допустимої області..................................................67

4.3.3. Класифікація можливостей щодо “вмісту”множини

оптимальних розв’язків ЗЛП.......................................................................67

§5. Векторний добуток векторів, його обчислення

та застосування......................................................................................69

Поняття векторного добутку..............................................................69

5.2. Властивості векторного добутку........................................................70

Координатне подання векторного добутку......................................71

Координатне подання векторного добутку в

детермінантній формі..................................................................................73

5.5. Контрольна перевірка правильності обчислення

векторного добутку......................................................................................74

Застосування векторного добутку.....................................................74

§6. Змішаний добуток векторів, його обчислення та

застосування. ........................................................................................76

6.1. Поняття змішаного добутку................................................................76

6.2. Властивості змішаного добутку.........................................................76

6.2.1. Геометричний зміст змішаного добутку.........................................76

6.2.2. Критерій компланарності векторів і точок....................................77

6.2.3. Алгебраїчні властивості змішаного добутку...................................77

6.3. Координатне подання змішаного добутку.......................................78

6.4. Застосування змішаного добутку.......................................................79

§7. Метричні характеристики і взаємне розташування

геометричних об’єктів.........................................................................82

7.1. Точки і прямі лінії на площині..........................................................82

7.1.1. Відстань між двома точками..........................................................82

7.1.2. Відстань від точки до прямої...........................................................82

7.1.3. Відстань між двома паралельними прямими..................................83

7.1.4. Взаємне розташування точок відносно прямої...............................83

7.2. Точки і площини в просторі...............................................................84

7.3. Точки і прямі в просторі.....................................................................84

7.4. Пряма і площина в просторі..............................................................85

7.5. Площі......................................................................................................85

7.6. Об’єми.....................................................................................................86

7.7. Дві прямі в просторі.............................................................................86

7.7.1. Паралельність прямих.........................................................................86

7.7.2. Умова перетину просторових прямих...............................................86

7.7.3. Знаходження пари найближчих точок на мимобіжних прями.х...87

Розділ ІІ. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА...........................................................92

§8. Системи лінійних рівнянь і n-вимірні вектори. .......................93

8.1. Поняття системи лінійних рівнянь, системи лінійних

нерівностей та їх розв’язків.............................................................92

8.2. Поняття n-вимірного вектора і n-вимірного лінійного

векторного простору.........................................................................95

8.3. Загальні теореми про множину розв’язків систем лінійних

рівнянь................................................................................................96

Теорема Крамера для квадратних СЛР..................................99

§9. Лінійні векторні простори...........................................................102

9.1. Загальне поняття лінійного векторного простору......................102

9.2. Підпростори лінійних векторних просторів................................104

9.3. Геометрія лінійних векторних просторів.....................................105

9.4. Опуклі множини в п-вимірному просторі.....................................110

§10. Метод Гауса розв’язання систем лінійних рівнянь..............115

10.1. Загальна ідея методу Гауса....................................................115

10.2. Поняття загального розв’язку СЛР......................................117

10.3. Елементарні перетворення СЛР ..........................................119

Перетворення виключення...................................................120

10.5. Умова несумісності СЛР.........................................................120

10.6. Вилучення залежних рівнянь................................................120

Алгоритм методу Гауса...........................................................121

Матрична форма методу Гауса..............................................121

§11. Елементи матричної алгебри....................................................122

11.1. Вступ до матричної алгебри...........................................................122

11.2. Арифметичні операції над матрицями........................................124

11.2.1. Множення матриці на число........................................................124

11.2.2. Додавання та віднімання матриць...............................................124

11.2.3. Множення матриці на матрицю..................................................125

11.3. Економічне тлумачення операції матричного

множення....................................................................................................126

11.4. Властивості операцій над матрицями..........................................127

11.4.1. Асоціативність операції матричного множення.......................127

11.4.2. Некомутативність операції матричного множення................127

11.4.3. Адитивність по першому і другому множнику операції

матричного множення..............................................................................127

11.4.4. Існування та єдиність нейтрального елемента відносно

операції матричного множення ..............................................................127

11.4.5. Анулююча властивість нульової матриці....................................128

11.5. Мультиплікативна форма методу Гауса......................................129

11.6.Обернена матриця, її обчислення і застосування........................129

11.6.1. Поняття оберненої матриці.........................................................129

11.6.2. Формула для обчислення оберненої матриці...............................130

11.6.3. Обчислення оберненої матриці методом Гауса..........................130

11.7. Застосування оберненої матриці до розв’язання систем

лінійних рівнянь........................................................................................133

§12. Визначники n-го порядку, їх обчислення та

застосування...............................................................................135

12.1. Аналіз спільних властивостей визначників 2-го та 3-го

порядку....................................................................................................... 135

Поняття визначника n-го порядку................................................137

12.3. Обчислення визначників n-го порядку за означенням.............138

12.4. Метод Гауса обчислення визначників..........................................139

Розкладення визначника за елементами рядка (або

стовпчика)...................................................................................................140

12.6. Детермінантна формула для оберненої матриці.........................142

12.7. Властивості визначників.................................................................142

Теорема Крамера (загальний випадок)........................................144

12.9. Інтерполяційний многочлен...........................................................144

§13. Лінійна залежність і незалежність n-вимірних

векторів. .......................................................................................147

13.1. На підходах до поняття лінійної залежності і незалежності.... 147

13.1.1.Колінеарність векторів...................................................................147

13.1.2. Компланарність векторів..............................................................148

13.1.3. Знаходження методом Гаусса рівнянь-наслідків........................148

13.1.4. Векторний погляд на систему лінійних рівнянь...........................149

13.2. Загальне поняття лінійної залежності і незалежності...............150

13.3. Лінійна залежність в ℝ² і ℝ³...........................................................151

13.4. Властивості лінійно залежних і лінійно незалежних систем

n-вимірних векторів..................................................................................152

13.5. Базиси n-вимірних векторних просторів.....................................154

13.6. Фундаментальна система розв’язків системи лінійних

рівнянь.........................................................................................................159

13.7. Критерій сумісності систем лінійних рівнянь.............................161

Розділ ІІІ. МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ.........................................163

§ 14. Числа і числові множини..........................................................164

14.1. Основні види чисел..........................................................................164

14.2. Ірраціональність числа .............................................................164

14.3. Числова вісь та числові інтервали................................................166

Теореми Георга Кантора.................................................................169

Алгебра множин................................................................................172

§ 15. Функції..........................................................................................175

15.1. Поняття функції................................................................................175

15.2. Дослідження функцій.......................................................................176

15.3. Поняття графіку функції.................................................................176

15.4. Основні характеристики функцій.................................................177

Збiжнiсть i гpаницi числових послiдовностей.......................185

16.1. Поняття числової послідовності....................................................185

16.2. Поняття збіжності і границі числової послідовності.................187

16.3. Властивостi опеpацiї гpаничного пеpеходу..................................188

16.4. Чудові (особливі) границі................................................................191

16.4.1. Число .............................................................................................192

16.4.2. Число ............................................................................................192

16.4.3. ...............................................................................................194

16.4.4. ...............................................................................................194

16.4.5. .........................................................................194

16.5. Уточнення і обґрунтування деяких математичних

понять......................................................................................................... 194

16.5.1. Поняття дійсного числа................................................................194

16.5.2. Степінь з ірраціональним показником..........................................195

§ 17. Збiжнiсть i гpаницi функцій. Неперервні і розривні

функції.................................................................................................. .196

17.1. Асимптотична поведінка функції................................................. 196

17.2. Поняття границі функції................................................................ 198

17.3. Поняття асимптоти функції........................................................... 199

17.4. Неперервні функції...........................................................................200

17.4.1. Поняття неперервності функції...................................................200

17.4.2. Найпростіші властивості неперервних функцій.........................200

17.4.3. Головні властивості неперервних функцій...................................201

17.4.4. Функціональні рівняння Коші.........................................................203

Многочлени....................................................................................... 203

17.5.1. Поняття многочлена......................................................................203

17.5.2. Поліном 3-го степеня.....................................................................204

17.5.3. Раціональні функції.........................................................................205

17.5.4. Локалізація дійсних коренів многочлена.......................................206

Похiдна..........................................................................................207

Теорема Ферма................................................................................. 207

18.2. Поняття похідної.............................................................................. 209

18.3. Знаходження і аналіз точок екстремумів функцій.................... 212

18.4. Найпростіші властивості похідної (похідна суми, різниці,

добутку, частки функцій)........................................................................ 214

18.5. Похідна складеної функції. Ланцюгове правило....................... 214

18.6. Похідна оберненої функції.............................................................. 215

18.7. Логарифмічна похідна.................................................................... 217

18.8. Основні теореми диференціального числення........................... 217

18.9. Диференціал функції....................................................................... 218

18.10. Прикладні задачі на екстремум.................................................. 221

18.11. Таблиця похідних........................................................................... 222

Iнтегpал........................................................................................ 223

Метод вичерпування....................................................................... 223

19.2. Деякі показові задачі........................................................................225

19.2.1. Задача про середню швидкість.....................................................225

19.2.2. Задача про пройдений шлях...........................................................226

19.3. Поняття визначеного інтегралу.................................................... 227

19.4. Існування і властивості визначеного інтегралу........................ 231

19.5. Напіввизначений-напівневизначений інтеграл (інтеграл

зі змінною верхньою межею). ................................................................ 231

19.6. Первісна функція і невизначений інтеграл............................... 233

19.7. Формула Ньютона-Лейбніца основна теорема

диференціального та інтегрального числення.................................... 234

19.8. Властивості невизначеного інтегралу......................................... 237

19.9. Способи обчислення невизначених інтегралів.......................... 237

19.9.1. Загальна ситуація щодо обчислення інтегралів..........................237

19.9.2. Головне правило інтегрування.......................................................238

19.9.3.Використання найпростіших правил інтегрування і таблиці інтегралів.....................................................................................................238

19.9.4.Метод заміни змінних (інтегрування підстановкою)..................240

19.9.5. Метод інтегрування частинами...................................................240

Дифеpенцiальнi piвняння......................................................... 241

20.1. Диференціальні рівняння як математичні моделі

динамічних процесів..................................................................................241

20.2. Загальне поняття диференціального рівняння..........................244

20.3. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними. ..........247

20.4. Лінійні диференціальні рівняння..................................................249

§ 21. Функцiї багатьох змiнних......................................................... 252

21.1. Функції багатьох змінних в математичних моделях

прикладних задач.......................................................................................252

21.2. Загальне поняття функції багатьох змінних...............................255

21.3. Частинні похідні функції багатьох змінних. Узагальнена

теорема Ферма...........................................................................................258

21.4. Градієнт функції................................................................................262

ЗБІРНИК ЗАДАЧ І ВПРАВ................................................................269

ЛІТЕРАТУРА.......................................................................................293

ДОДАТКИ.............................................................................................295