Числа, що утворюють визначник, називаються його елементами та позначаються подвійними індексами аi j, де i-номер рядка, j –номер стовпця

Розглянемо спочатку системи рівнянь, в яких кількість невідомих і кількість рівнянь рівні між собою, тобто m = n. Нехай, наприклад, n = m = 2, тоді маємо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими:

Числа, що утворюють визначник, називаються його елементами та позначаються подвійними індексами аi j, де i-номер рядка, j –номер стовпця - student2.ru

Визначником другого порядку називається вираз

Числа, що утворюють визначник, називаються його елементами та позначаються подвійними індексами аi j, де i-номер рядка, j –номер стовпця - student2.ru . (1.2)

Приклад. 1.1

Числа, що утворюють визначник, називаються його елементами та позначаються подвійними індексами аi j, де i-номер рядка, j –номер стовпця - student2.ru .

Якщо n = m = 3, то маємо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:

Числа, що утворюють визначник, називаються його елементами та позначаються подвійними індексами аi j, де i-номер рядка, j –номер стовпця - student2.ru

Визначником третього порядку називається вираз:

Числа, що утворюють визначник, називаються його елементами та позначаються подвійними індексами аi j, де i-номер рядка, j –номер стовпця - student2.ru . (1.3)

Для запам’ятовування правила обчислення визначника третього порядку пропонуємо таку схему (правило трикутників):

Числа, що утворюють визначник, називаються його елементами та позначаються подвійними індексами аi j, де i-номер рядка, j –номер стовпця - student2.ru

Позначимо точками елементи визначника, тоді доданки зі знаком «плюс» — це добутки елементів a11, a22, a33, розміщених на головній діагоналі визначника, і добутки елементів a13, a21, a32і a12, a23, a31, розміщених у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні головній діагоналі. Зі знаком «мінус» беруться доданки, що є добутками елементів a13, a22, a31, розміщених на сторонній діагоналі визначника, та у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні сторонній діагоналі визначника — a11, a23, a32 і a12, a21, a33.

Запропонуємо ще одне правило обчислення визначника третього порядку (правило Саррюса).

У початковому визначнику за третім стовпцем запишемо ще раз перший і другий стовпці:

Числа, що утворюють визначник, називаються його елементами та позначаються подвійними індексами аi j, де i-номер рядка, j –номер стовпця - student2.ru

Для знаходження визначника за цим правилом треба утворити зі знаком «плюс» алгебраїчну суму добутків елементів, розміщених на головній діагоналі визначника, і на діагоналях, паралельних їй, а зі знаком «мінус» — добутків елементів, розміщених на сторонній діагоналі, та на діагоналях, паралельних їй.

Визначник:

Числа, що утворюють визначник, називаються його елементами та позначаються подвійними індексами аi j, де i-номер рядка, j –номер стовпця - student2.ru ,

рядки якого є стовпцями попереднього визначника, є транспонованим щодо визначника (1.3).

Властивості визначників

Властивість 1. Визначник не змінюється в результаті транспонування.

З властивості 1 випливає, що будь-яке твердження, котре справджується для рядків визначника, справджується і для його стовпців, і навпаки.

Властивість 2. Якщо один із рядків визначника складається лише з нулів, то такий визначник дорівнює нулю.

Властивість 3. Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то його знак зміниться на протилежний.

Властивість 4. Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю.

Властивість 5. Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на стале число С, то й визначник помножиться наС.

З останньої властивості випливає, що спільний множник елементів рядка можна виносити за знак визначника.

Властивість 6. Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.

Властивість 7. Якщо всі елементи будь-якого рядка визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший доданок у першому визначнику і другий доданок у другому визначнику, а решта елементів будуть ті самі, що й у початковому визначнику.

Властивість 8. Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи довільного іншого рядка, попередньо помножені на деяке число.

Наши рекомендации