Виды средних и способы их вычисления

Вопрос о выборе средней решается в каждом отдельном случае, исходя из задачи исследования, материального содержания изучаемого явления и наличия исходной информации. Основное условие – величины, представляющие собой числитель и знаменатель средней, должны быть логически связаны между собой.

1. Средняя арифметическая – применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных её единиц.

Если данные не сгруппированы, т.е. не учитывается частота появления отдельного варианта в совокупности, то средняя арифметическая в этом случае будет называться простой:

где x₁, х₂, …x_n – индивидуальные значения признака (варианты);

n – число единиц совокупности.

Средняя, рассчитанная из вариантов, которые повторяются различное число раз или имеют различный вес в совокупности, называется взвешенной. В качестве веса выступает численность единиц в разных группах, объединяющих одинаковые варианты. Таким образом, средняя арифметическая взвешенная используется в том случае, когда данные упорядочены и известны частоты отдельных вариантов:

где f₁, f₂,… f_n – веса (частота повторения одинаковых признаков);

– сумма произведений величины признаков на их частоты;

– общая численность единиц совокупности.

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными, а относительными величинами (в % или долях единицы): – частость, т.е удельный вес частоты отдельного варианта в общей сумме частот. Если частоты подсчитывают в долях (коэффициентах), то , и формула средней арифметической взвешенной имеет вид: . Если значения осредняемого признака заданы в виде интервалов вариационного ряда распределения, то при расчёте средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимают середины этих интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд.

2. Средняя гармоническая используется в тех случаях, когда статистическая информация не содержит частот f_i отдельных вариантов x_i в совокупности, а представлена их произведением x_i∙f_i = w_i f_i = :

3. Средняя хронологическая – применяется в тех случаях, когда размер изучаемого явления задан на определённые даты (на определённые моменты времени):

,

где – значения признака на равностоящие друг от друга даты;

n – число дат.

Структурные средние

Структурные средние используются для изучения внутреннего строения множества или структуры распределения.

1. Мода – значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности. В дискретном ряду модой является вариант, имеющий наибольшую частоту (частость). В интервальном вариационном ряду мода рассчитывается по формуле

где – нижняя граница модального интервала;

– величина модального интервала;

– частоты (частости) соответственно модального, домодального и послемодального интервала.

Модальный интервал – это интервал, имеющий наибольшую частоту (частость) и содержащий точечное значение моды.

2. Медиана – вариант, расположенный в середине упорядоченного вариационного ряда, делящий его на две равные части таким образом, что половина единиц совокупности имеют значение признака меньше, чем медиана, а половина – больше.

В интервальном вариационном ряду медиана определяется по формуле

где – нижняя граница медианного интервала;

– величина медианного интервала;

– сумма частот (частостей) вариационного ряда;

– частота (частость) медианного интервала;

– сумма накопленных частот (частостей) в интервале, предшествующем медианному.

Медианный интервал – это интервал, в котором находится порядковый номер медианы. Для его определения необходимо подсчитать сумму накопленных частот (частостей) до числа, чуть превышающего половину объёма совокупности.

Решение типовых задач

Пример 2.1. Известны следующие данные о деятельности торгового предприятия:

№ магазина	Апрель	Май
численность продавцов	средний объём продаж одного продавца, тыс. руб.	среднемесячный объём продаж одного продавца, тыс. руб.	товарооборот, тыс. руб.

Определим, за какой месяц и на сколько процентов был больше средний объём продаж одного продавца торгового предприятия.

Решение

Данные за апрель месяц упорядочены, известны частоты отдельных вариантов. Для расчёта среднего значения объёма продаж одного продавца в целом по торговому предприятию используем среднюю арифметическую взвешенную:

где f₁, f₂, f_n – веса (частота повторения одинаковых признаков);

– сумма произведений величины признаков на их частоты;

– общая численность единиц совокупности.

= 92,19 тыс. руб.

В данных за май частоты не известны, а даётся показатель товарооборота, который находится как произведение численности продавцов (частота) на средний объем продаж одного продавца (осредняемый признак). В этом случае для расчёта среднего объёма продаж одного продавца в целом по торговому предприятию используется средняя гармоническая взвешенная:

,

= 95,85 тыс. руб.

Для оценки изменения во времени используем относительную величину динамики: = 1,0397, или 103,97%, т.е. прирост среднего объёма продаж одного продавца в целом по торговому предприятию в мае по сравнению с апрелем составил 3,97%.

Пример 2.2.Известны следующие данные о стоимости имущества торгового предприятия, млн руб.:

Дата	млн руб.	дата	млн руб.
01.01		01.08
01.02		01.09
01.03		01.10
01.04		01.11
01.05		01.12
01.06		01.01
01.07

Рассчитаем сумму налога на имущество, подлежащую уплате в бюджет, если ставка составляет 2 ,0 %.

Решение

Сумма налога на имущество, подлежащая уплате в бюджет, находится как произведение налоговой базы (стоимости имущества предприятия, признаваемого объектом налогообложения) на ставку налога. Стоимость имущества предприятия представлена по данным баланса на конкретные даты, а это значит, что их напрямую, как в случае с интервальными значениями, суммировать нельзя. Для расчёта среднего значения при таких исходных данных используется средняя хронологическая:

.

= 18,1 млн руб.

Тогда сумма, подлежащая уплате в бюджет, составит:

18,1 ∙ 0,02 = 0,362 млн руб.

Пример 2.3.Магазины торговой сети распределяются следующим образом по размеру товарооборота:

Размер товарооборота, тыс. руб.	Число магазинов
До 50
50–100
100–150
150–200
200–250
250–300
300–350
350–400

Определим средний размер товарооборота, моду и медиану.

Решение

1. Среднее значение признака для интервального ряда распределения:

,

где – середина соответствующего интервала.

тыс. руб.

2. Мода – наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. В интервальном ряду сначала определяется модальный интервал, т.е. интервал, который имеет наибольшую частоту : 200–250.

где – нижняя граница модального интервала;

– величина интервала;

– частота модального интервала ;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота интервала, следующего за модальным.

тыс. руб.

3. Медиана – это вариант, стоящий в середине ранжированного ряда. В интервальном ряду распределения сначала указывают медианный интервал, в котором сумма накопленных частот чуть превышает сумму частот ряда. Расчёт суммы накопленных частот приведён в таблице:

Размер товарооборота, тыс. руб.	Число магазинов	Частости	Накопленные частости
До 50
50 – 100
100 – 150
150 – 200
200 – 250
250 – 300
300 – 350
350 – 400
Свыше 400
Итого

Медианный интервал: (200 – 250)

,

где – нижняя граница медианного интервала;

– величина медианного интервала;

– сумма частот (частостей) вариационного ряда;

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

– частота медианного интервала;

га.