Примеры. 1. Вычислить приближенно значение:

1. Вычислить приближенно значение:

а) Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru .

Предположим, что Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru - это частное значение функции Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru в точке Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru и что вспомогательная точка - Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru , тогда:

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru ;

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru , Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru

Пользуясь формулой приближенных вычислений функции, получаем

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru .

б) Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru

Пусть данное выражение есть частное значение функции Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru в точке Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru . В качестве вспомогательной точки возьмем Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru . Тогда

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru , Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru ; Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru ,

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru

Таким образом, Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru .

в) Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru

Пусть данное выражение есть частное значение функции Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru при x = 1, y = 2, z = 1.

Из этого выражения определим

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru , Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru ; Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru

Найдем значение функции Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru .

Находим частные производные и их значения во вспомогательной точке:

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru

Полный дифференциал функции u равен:

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru

Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.

2. Линеаризовать функцию Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru в окрестности точки Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru .

Найдем значения функции и ее частных производных в указанной точке:

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru ;

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru .

Пользуясь формулой линеаризации функции, получаем

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru .

7. Дифференцирование сложных функций

1°. Переменная Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru называется сложной функцией нескольких переменных Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru , если она задана через посредство промежуточных аргументов Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru :

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru ,

где Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru , Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru ,…, Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru .

Частная производная сложной функции по одной из независимых переменных равна сумме произведений ее частных производных по промежуточным аргументам на частные производные этих аргументов по независимой переменной:

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru (1)

………………

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru

Если, в частности, все промежуточные аргументы Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru будут функциями одной независимой переменной Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru , то и Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru будет сложной функцией только от Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru . Производная такой сложной функции (от одной независимой переменной) называется полной производной и определяется формулой:

Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru (2)

Формула (2) получается из формулы для полного дифференциала функции Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru путем деления на Примеры. 1. Вычислить приближенно значение: - student2.ru .

Наши рекомендации