Примеры. 1. Вычислить приближенно значение:
1. Вычислить приближенно значение:
а) .
Предположим, что - это частное значение функции в точке и что вспомогательная точка - , тогда:
;
,
Пользуясь формулой приближенных вычислений функции, получаем
.
б)
Пусть данное выражение есть частное значение функции в точке . В качестве вспомогательной точки возьмем . Тогда
, ; ,
Таким образом, .
в)
Пусть данное выражение есть частное значение функции при x = 1, y = 2, z = 1.
Из этого выражения определим
, ;
Найдем значение функции .
Находим частные производные и их значения во вспомогательной точке:
Полный дифференциал функции u равен:
Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.
2. Линеаризовать функцию в окрестности точки .
Найдем значения функции и ее частных производных в указанной точке:
;
.
Пользуясь формулой линеаризации функции, получаем
.
7. Дифференцирование сложных функций
1°. Переменная называется сложной функцией нескольких переменных , если она задана через посредство промежуточных аргументов :
,
где , ,…, .
Частная производная сложной функции по одной из независимых переменных равна сумме произведений ее частных производных по промежуточным аргументам на частные производные этих аргументов по независимой переменной:
(1)
………………
Если, в частности, все промежуточные аргументы будут функциями одной независимой переменной , то и будет сложной функцией только от . Производная такой сложной функции (от одной независимой переменной) называется полной производной и определяется формулой:
(2)
Формула (2) получается из формулы для полного дифференциала функции путем деления на .