Уравнение теплопроводности

7.1 Решить следующую задачу Коши для уравнения теплопроводности:

.

Ответ. .

7.2. . Используя решение задачи 7.1, показать, что решение задачи Коши

,

можно представить в виде (формула Пуассона).

7.3 В теплоизолированный с боков стержень плотности r, площади поперечного сечения S в момент времени t=0 на отрезке [x-h, x+h] мгновенно вводится количество тепла, равное crS. Показать, что начальное распределение температур будет иметь вид , и .

В чём заключается физический смысл функции, найденной при решении задачи 7.2 (фундаментального решения уравнения теплопроводности)?

.7.4. Найти распределение температуры u(x, t) в бесконечном стержне, если начальное распределение температуры имеет вид .

Ответ. , где .

7.5. Распределение температур задано функцией – фундаментальным решением уравнения теплопроводности (смотри зад. 7.1). Построить график изменения температуры в зависимости от времени при фиксированном .

Указание. Максимум температуры достигается при и равен .

7.6. Доказать, что если функция в задаче Коши

,

нечётная, то .

7.7. Доказать, что если функция в задаче Коши

,

чётная, то .

7.8.Используя метод отражения, решить уравнение

при начальном условии

и краевом условии

Изобразить кривую, выражающую зависимость температуры от для нескольких

Указание. Используя результат задачи 7.6, нужно положить

и использовать формулу Пуассона из задачи 7.2.

Ответ. .

7.9.Пусть конец полубесконечного стержня ( ) теплоизолирован, т.е.
. Начальное распределение температуры: .

Определить распределение температуры в стержне в любой момент времени

Ответ.

7.7. Задача Дирихле для круга. Найти функцию , ( – полярные координаты), удовлетворяющую уравнению внутри круга и принимающую заданные значения на его границе: . (См. Пискунов, Дифф. и интегр. исчисления, т.2, XXIX, §10).

Указание. Уравнение в полярных координатах имеет вид

или

..\ММФ\Уравнение Лапласа.doc

Ответ.