Третье и четвертое уравнения Максвелла

4. Максвелл включил в систему уравнений электромагнитного поля теорему Гаусса для электростатического поля

. 17.4

Поток вектора напряженности электростатического поля сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри поверхности к диэлектрической проницаемости среды,

и теорему Гаусса для магнитного поля

. 17.5

Поток вектора индукции магнитного поля сквозь замкнутую поверхность равен нулю. В правой части стоит нуль, потому что магнитные заряды в природе не обнаружены.

5. Закон Ома для однородной проводящей среды. Поверхностная плотность силы электрического тока равна отношению напряженности электрического поля к удельному сопротивлению среды: .

На основе уравнений были предсказано существование электромагнитных волн, скорость которых равна скорости света. Механическая теория распространения света в эфире была заменена электромагнитной теорией, для которой светоносный эфир не нужен.

Контрольные вопросы

1. В чем отличие вихревого электрического поля от электростатического поля? Каким образом создаются оба вида поля? Одинаково ли действуют оба вида поля на электрические заряды?

2. В пространстве существует электростатическое поле и вихревое электрическое поле. Создадим замкнутую поверхность, не охватывающую заряды, Что можно сказать о величине потока напряженности в обоих случаях о соотношении потоков,

3. В пространстве существует электростатическое поле и вихревое электрическое поле. Что можно сказать о величине циркуляции по некоторому контуру, расположенному в плоскости силовых линий полей, или перпендикулярно?

4. Дайте определение циркуляции вектора. В каких силовых полях циркуляция вектора силы равна нулю.

5. Что можно сказать о циркуляции вектора скорости воздушного потока в таких атмосферных образованиях как смерчи, тайфуны, торнадо, циклоны и антициклоны? Причем тут сила Кориолиса? Что такое «глаз», например, тайфуна?

6. Источник тока с ЭДС ε замкнут проводами на резистор. Определите циркуляцию электростатического поля по контуру электрической цепи.

7. Магнитное поле внутри контура радиусом 5 см меняется со скоростью 0,1 Тл/с. Определите циркуляцию напряженности электрического вихревого поля по контуру.

8. Какое соотношение между циркуляцией напряженности электрического поля по замкнутому проводнику и ЭДС электромагнитной индукции?

9. При каких условиях циркуляция вихревого электрического поля будет постоянна во времени?

10. В пространстве возникает электрическое поле, напряженность которого возрастает с постоянной скоростью. Изобразите силовые линии индуцированного магнитного поля. Определите циркуляцию вектора магнитной индукции по контуру, совпадающего с силовой линией.

11. Чем отличаются магнитные поля, создаваемые токами проводимости и токами смещения?

12. Заряженное диэлектрическое кольцо вращается (опыт Эйхенвальда) Изобразите силовые линии магнитного поля, созданного кольцом? Можно ли сказать, что поле создано токами смещения?

13. Из заряженного конденсатора вынимается диэлектрик. Создается ли в пространстве магнитное поле?

14. Пластины заряженного конденсатора, отключенного от источника тока, разводятся. Возникает ли в пространстве между пластинами магнитное поле? Как изменится ответ, если источник тока не отключен?

15. Заряженный шарик пульсирует. Будет ли около шарика возникать переменное электрическое поле и магнитное поле?

16. Чем создается ток смещения: смещением зарядов диэлектрика, переменным электрическим полем или движением электрических зарядов?

17. Чем создается ток смещения: переменным вихревым электрическим полем или переменным электростатическим полем?

18. Чем и почему отличается форма записи теоремы Гаусса для электрического поля и для магнитного поля?

19. В магнитном поле Земли летит самолет. Возникает ли электрическое поле в самолете?

18. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

1.Электромагнитная волна – это процесс распространения в пространстве взаимно превращающихся магнитного и электрического полей. Существование электромагнитных волн было теоретически предсказано Максвелломна основе решения системы уравнений электромагнитного поля. Для пространства, где нет токов проводимости и электрических зарядов, первое и второе уравнения имеют вид

. 18.1

Согласно первому уравнению циркуляция вектора напряженности вихревого электрического поля равна с обратным знаком скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность контура. По гипотезе Максвелла, всегда при изменении вектора индукции В магнитного поля в пространстве возникает вихревое электрическое поле. Силовые линии вихревого электрического поля в отличие от электростатического поля замкнуты.

Согласно второму уравнению циркуляция вектора индукции магнитного поля равна произведению скорости изменения напряженности электрического поля на магнитную и электрическую проницаемости среды. По гипотезе Максвелла переменное электрическое поле является током смещения, . Как и ток в проводниках переменный ток смещения обладает способностью индуцировать в пространстве магнитное поле.

Таким образом, если в некоторой области пространства появится изменяющиеся электрическое поле, то оно индуцирует рядом переменное магнитное поле, которое, в свою очередь, индуцирует в соседних областях пространства переменное вихревое электрическое поле. И так далее.

2. Излучателем электромагнитных волн может быть открытый колебательный контур, у которого обкладки конденсатора разведены настолько, что электрическое поле оказывается не внутри, а снаружи (рис. 18.1). Излучение наиболее эффективно в диапазоне высоких частот. Для этого емкость С и индуктивность L контура должны быть малы (по формуле Томсона ). При разведении обкладок и уменьшении числа витков контур превращается в стержень. Излучатель в виде стержня называется вибратором Герца. В вибраторе электрический заряд колеблется с частотой до нескольких сот МГц, создавая в пространстве быстропеременные электрическое и магнитное поля.

3. Пусть в некоторый момент времени вибратором создаётся возрастающее электрическое поле с напряженностью Е₁, направленное вверх (рис. 18.2). Ток смещения с плотностью , будет направлен вверх. Он индуцирует около себя возрастающее магнитное поле В₁, силовые линии которого, по правилу буравчика, – это окружности, направленные против часовой стрелки на виде сверху. Это возрастающее магнитное поле В₁ индуцирует в области С электрическое поле с напряженностью Е₂, силовые линии которого согласно правилу Ленца направлены против часовой стрелки.

По закону сохранения энергии напряженности Е₁и Е₂ и индукции В₁ и В₂ равны. Они компенсируют друг друга. Электрическое и магнитное поля в области А исчезнут, но зато появятся дальше от вибратора в области С, затем в области D и так далее. Электромагнитный импульс будет перемещаться. Векторы напряженности Е, индукции В взаимно перпендикулярны, изменяются синхронно и с вектором скорости V образуют правую тройку векторов.

3. Получим волновое уравнение электромагнитной волны. Для этого уравнения Максвелла следует преобразовать в дифференциальные уравнения.

В первом и втором уравнении системы 18.1 циркуляция определяется для векторов по элементам контура интегрирования, а потоки векторов по поверхности внутри контура, то есть в разных точках. Чтобы сблизить точки контура и точки внутри контура, применим уравнения Максвелла для бесконечно малого контура. Поделим, например, первое уравнение на площадь контура s. Предел отношения циркуляции напряженности к площади, при стремлении площади к нулю называется ротором напряженности: . Это вектор, перпендикулярный к поверхности s, равный матрице произведения оператора«набла» на вектор E. Первое и второе уравнения в дифференциальной форме примут вид

и . 18.2

Чтобы получить волновое уравнение, исключим, например, индукцию магнитного поля. Для этого умножим первое уравнение на оператор набла: а второе продифференцируем по времени: . Появятся в обоих уравнениях одинаковые смешанные производные от вектора индукции, которые сокращаются при сложении уравнений. В результате получим волновое уравнение, учитывая, что двойное векторное произведение

. 18.3

Здесь Δ – оператор Лапласа. . Скорость распространения электромагнитных волн совпадает по величине со скоростью света.

4. Экспериментальное изучение электромагнитных волн произвел Генрих Герцс помощью излучающего и приемного вибраторов. Вибраторы в середине имели небольшой разрез. Излучающий вибратор подсоединялся к высоковольтному источнику постоянного напряжения. Когда происходил пробой воздушного промежутка, в излучающем вибраторе возникал быстропеременный кратковременный ток. Происходило излучение электромагнитного импульса. Если приемный вибратор регистрировал импульс, то в его воздушном зазоре возникали искорки.

Установлены законы распространения электромагнитных волн. Электромагнитные волны распространяются со скоростью света, электромагнитные волны это поперечные волны, они отражаются от металлических экранов, фокусируются металлическими зеркалами, преломляются в призмах из диэлектрика.

5. Электромагнитная волна, распространяясь в пространстве, переносит с собой энергию и импульс. Объёмные плотности энергии электрического и магнитного полей и равны между собой. Из этого равенства следует . Заменив по этому соотношению напряженность одного поля напряженностью другого, получим одинаковые формулы для объёмной плотности энергий. Суммарная плотность энергии будет равна

. 18.4

Умножим объёмную плотность энергии (18.4) на скорость электромагнитной волны . В результате получим . Это произведение равно энергии, заключенной в параллелепипеде длиной, равной скорости распространения волны с единичной площадью торца. За единицу времени эта энергия будет перенесена через торец воображаемого параллелепипеда. Количество энергии, пронизывающей единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны за единицу времени называется вектором Умова–Пойнтинга. Для общего случая представим вектор Умова–Пойнтинга в виде векторного произведения векторов напряженности электрического и магнитного полей:

. 18.5

Направление вектора Умова –Пойнтинга указывает направление потока энергии электромагнитного поля.

Например, электрический ток течет по проводнику. В пространстве возникает магнитное поле, в проводнике выделяется теплота Джоуля-Ленца (рис. 18.4).. Определим направление потока энергии через поверхность проводника. Вектор напряженности электрического поля направлен вдоль направления тока, а вектор напряженности магнитного поля по касательной, согласно правилу буравчика, Направление вектора Умова-Пойнтинга по правилу векторного произведения направлено внутрь проводника. Энергия из окружающего пространства, где существует магнитное поле, втекает через боковую поверхность и превращается в теплоту.

Контрольные вопросы

1. Как направлен вектор Умова-Пойнтига в плоской электромагнитной волне?

2. Плоский конденсатор заряжается. Как направлен6 вектор Умова-Пойнтинга в конденсаторе?

3. Почему электромагнитная волна отражается от металлической поверхности?

4. Каким способом можно определить длину электромагнитной волны? Как это делается в лабораторной работе (29)?

5. Какова форма фронта электромагнитной волны, излучаемой вибратором Герца? Излучаются ли волны по оси вибратора?

6. Как следует расположить приемный вибратор Герца для наиболее эффективного приема электромагнитной волны, излучаемой другим вибратором,

7. Электрический заряд с высокой частотой совершает колебания вдоль вибратора Герца. Изобразите распределение потенциала электрического поля вдоль стержня для некоторых моментов времени/

8. Заряженный шарик на пружинке совершает колебания с высокой частотой. Излучает ли шарик электромагнитные волны?

9. Почему для эффективного излучения электромагнитных волн необходима высокая частота колебаний напряженностей электрического и магнитного полей излучателя?

10. Почему двухпроводная линия, расположенная около вибратора Герца в лабораторной установке (29), создает направленное распространение электромагнитной волны?

11. Что происходит в двухпроводной линии в лабораторной установке (29) при отражении электромагнитной волны от приемного вибратора с лампочкой при замыкании линии? Почему загорается лампочка?

12. Металлический стержень в лабораторной установке (29)своими концами подсоединен к выводам генератора электрических колебаний. Изобразите распределения потенциала вдоль стержня для некоторых моментов времени.

13. В опытах Герца положительный и отрицательный выводы источника высокого напряжения подсоединены к вибратору через дроссели. Каково назначение дросселей?

14. Частота колебаний тока в вибраторе равна 200 МГц. Определите длину волны электромагнитной волны в воздухе.

15. Известно, что электромагнитные волны создаются вибратором Герца и рамкой с током. А можно ли создать волны пульсирующим с высокой частотой пластинами конденсатора?

16. Как изменится скорость, частота и длина волны электромагнитной волны при распространении в диэлектрической жидкости с относительной проницаемостью равной 4?

17. Почему в момент разряда молнии в радиоприемниках слышен треск? Каков спектр принимаемого сигнала?

18. Раскройте двойное векторное произведения , где оператор набла равен .

19. Какой физический смысл ротора вектора векторного поля, например, ротор вектора скорости потока воды?

20. Докажите, что уравнение волны, например, в виде является решением дифференциального уравнения (18.3) в одномерном случае плоской волны .

ЛИТЕРАТУРА

1. Т.И. Трофимова. Курс общей физики. М., Мир и образование, 2003, 650с.

2. А.Г.Чертов, А.А. Воробьев. Задачник по физике.–М.; Физматлит, 2003.–638с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Электростатическое поле. Напряженность………………….3

2. Потенциал электростатического поля………………8

3. Вещество в электростатическом поле………...……12

4. Электрическая емкость……………………………...17

5. Постоянный электрический ток…………………….22

6. Источники электрического тока……………………27

7. Магнитное поле……………………………………...32

8. Силы в магнитном поле……………………………..37

9. Электромагнитная индукция………………………..43

10. Взаимная индукция………………………………...49

11. Вещества в магнитном поле……………………….54

12. Электрическая железная дорога…………………..60

13. Регулирование скорости поезда…………………..65

14. Мощность и сила тока электровоза……...….……71

15. Высокоскоростной транспорт…………………….76

16. Переменный электрический ток………………..…82

17. Уравнения Максвелла……………………………..86

18. Электромагнитные волны…………………………91