Разложения элементарных функций в ряды Маклорена

В этом параграфе мы, используя вид разложения функции в ряд Маклорена

(1) ,

найдем разложение по степеням некоторых элементарных функций.

1. Пусть . Тогда, очевидно, . Поэтому на любом конкретном интервале эти производные ограничены одним и тем же числом ( например, числом ) и . Поэтому условия теоремы о разложении выполняются на любом интервале , а потому, согласно (1), для всех :

(2) = .

2. Рассмотрим . Тогда , , , . Поскольку опять получилась функция , то дальнейшие производные будут повторять те, что мы уже нашли. Поэтому все производные ограничены на всей числовой прямой (например, числом 1, как все синусы и косинусы) и условия теоремы о разложимости в степенной ряд на всей числовой прямой выполнены. Далее, , , , , и далее все циклически повторяется. Поэтому разложение (1) будет содержать только нечетные степени :

(3) =

для всех .

3. Рассмотрим . Тогда можно получить разложение в ряд Маклорена тем же путем, что для . Но мы сделаем это проще, если учтем полученное разложение (3) для и то, что . Дифференцируя (т.е. беря производную) почленно правую и левую части равенства (3), получим, учитывая возможность почленного дифференцирования степенных рядов внутри их интервала сходимости,

.

Таким образом, для всех :

(4) .

4. Рассмотрим . Тогда, интегрируя почленно полученное ранее разложение , можно получить

(5) =

для всех . Произвольная постоянная появилась, как обычно, после вычисления неопределенного интеграла. Найдем ее значение. Для этого подставим в (5) : , т.е. . Поэтому из (5) получаем:

(6) = , .

5. Рассмотрим , где − любое действительное число. Тогда, вычисляя значения производных в нуле, из (1) можно (хотя чуть более громоздко, чем в предыдущих примерах) получить:

(7) для всех . Например, при получаем разложение для квадратного корня:

(8) для всех .

С помощью приведенных выше разложений для основных элементарных можно находить разложения по степеням более сложных функций.

Пример 1. Разложить по степеням (т.е. в ряд Маклорена) функцию .
Решение. Заменяя в правой и левой части (6) на , получим

= , .

Умножая обе части этого равенства на , получаем

= , .

Пример 2. Разложить по степеням функцию .
Решение. Применяя формулу понижения степени, получаем

(9) .

Подставляя вместо в разложение (4) для косинуса, последовательно для (9) получаем:

,

,

, .

Пример 3. Разложить по степеням функцию .
Решение. Введем новую переменную

(10)

и выразим через . Из (10) следует , а потому {пользуемся нечетностью синуса} ={пользуемся формулой приведения } {в разложение синуса (3) по степеням подставляем вместо } = . Подставляя, согласно (10), , окончательно получаем:

.

Это и есть искомое разложение.

С помощью рядов Тейлора и Маклорена можно вычислять приближенные значения функции, обрывая эти ряды на каком-нибудь слагаемом (чем больше оставим членов ряда, тем точнее будет вычисленное значение).

Пример 4. Вычислить приближенно .

Решение. Имеем: . Из написанного выше в (8) разложения , оставляя 3 слагаемых, получаем приближенную формулу . Применяя ее при , получим . Отметим, что точное значение .олучим е при _х_ормулу лум (чем больше оставим членов ряда, тем точнее будет вычисленное значение).

Сборник задач по курсу

Элементы теории множеств и математической логики

1. Вставьте пропущенный термин (символ) так, чтобы получилось верное утверждение:

а) множество называется …, если содержит конечное число элементов;

б) запись А...В, означает, что множество А является подмножеством множества В;

в) символ Æ обозначает … множество;

2. Соотнесите графическое изображение и
одну из следующих символьных записей: а) DÌ СÌ В
б) ВÌ СÌ D в) CÌ BÌ D

3. Соотнесите текстовую и символьную записи числовых множеств (N, Z, Q, R), заполнив соответствующие клетки следующей таблицы. Приведите примеры чисел, принадлежащих каждому из множеств.

Множество	Обозначение	Примеры
натуральных чисел
целых чисел
рациональных чисел
действительных чисел

4. Для промежутка на числовой прямой (–4; 3] перечислите списком: а) все натуральные числа, которые принадлежат данному промежутку; б) все целые числа, которые принадлежат данному промежутку.

5. В следующих множествах все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. Найдите элементы, не обладающие этим свойством:
а) сосна, ель, береза б) 4; 8; 12; 16; 19; 20.

6. Для каждого из слов: сосна, насос, колос, осколок — составьте множества его различных букв, обозначив их соответственно буквами А, В, С, D. Определите, какие из полученных множеств являются равными.

7. Соотнесите символьную запись операции над множествами с ее графическим изображением (результат операции заштрихован). Поставьте знак «+» в нужной клетке таблицы.

В\A
А\В
АÈВ

8. Закончите предложение так, чтобы оно было верным, выбрав для ответа один из предложенных вариантов. Если dÎ A∩C, то
а) dÎ A и dÏ С; б) dÏ А и dÎ С; в) dÎ А и dÎ С.

9. Пусть множество А={береза, ель, кедр, осина, пихта, сосна, черемуха}. Составьте множество В — все лиственные, так что ВÌ А. Перечислите списком результат операции А\В.

10. Даны множества D=[–4; 2] и F=[0; 5]. Найдите D È F; D∩F; D\F; F\D. Результаты операций изобразите на числовой прямой.

11. Определите, результат какой операции заштрихован на рисунке. Выберите верный ответ из предложенных и обоснуйте его. а) A∩C∩B
б) A∩C È А∩B

12. Докажите, что если А Ì В и В Ì А, то А = В; если А Ì В, В Ì С, то А Ì С.

13. Установите, истинны или ложны (И, Л) следующие утверждения:
1) пересечение множеств А и В есть множество, состоящее из элементов общих для обоих множеств; 2) если В Ì А, тогда А Ç В = В; 3) если ВÌ А, тогда АÈ В = А;

14. Дан промежуток (–4;3]. Перечислите списком в порядке убывания все натуральные числа, которые принадлежат данному промежутку.

15. Определите, какое из перечисленных множеств является конечным.
1) А=(0; 7); 2) В={4, 5}; 3) С= [4; 5].

16. Какие высказывания истинны: а) 8 делится на 4 б) Крокодил это дерево.

17. Является ли высказыванием уравнение х+4=3 ?

18. Пусть предикат А(х) означает, что студент х из вашей группы является юношей. Истинны ли высказывания: а) б) ?

19. Истинно ли высказывание , если , В={Москва – столица России}?

Линейная алгебра

1. Пусть , . А + В = ?

2. , тогда ?

3. Даны матрицы и . Найти матрицу , удовлетворяющую уравнению .

4. Пусть , . Тогда

5. Найти миноры и алгебраические дополнения всех элементов матрицы
А = .

6.

7. =?

8. Найти обратную для матрицы .

9. Решить матричным методом систему .

10. Решить систему методом Крамера.

11. Решить систему методом Гаусса .

12. Найти общее решение системы .

13. Найти собственные значения матриц:

Векторы

1. Даны точки . Найти направляющие косинусы вектора .

2. . Найти .

3. Найти и , если

4. . Найти значение , при котором векторы
а) перпендикулярны, б) параллельны.

5. . Найти угол между векторами .

6. Пусть вершины треугольника расположены в точках А(1,-4,2), В(2,1,1), С(0,4,-1). Найдите площадь треугольника.

7. Найдите угол между медианами треугольника (из предыдущего примера).

8. Пусть 3 вершины параллелограмма расположены в точках А(2,-1,3), В(2,1,1), С(0,4,-1). Найдите его площадь и координату четвертой вершины.

9. Найдите угол между диагоналями параллелограмма из предыдущего примера.

10. Пусть вершины треугольника расположены в точках А(1,-4,2), В(2,1,1), С(0,4,-1). Найдите длину вектора .

Линии на плоскости

1. Найти уравнение прямой, составляющей с осью абсцисс угол 30 градусов и проходящей через точку М(1, 2).

2. Построить прямую с уравнением .

3. Найти координаты точки пересечения прямых с уравнениями и и угол между ними.

4. При каком значении прямые и параллельны, а при каком перпендикулярны.

5. Найти уравнение прямой, проходящей через т. М(4, 2) и перпендикулярную прямой .

6. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(2, 3) и точку пересечения прямых и .

7. Найти угол между прямыми и .

8. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами А(−4,2), В(2, −5),С(5,0).

9. В треугольнике АВС сторона АВ лежит на прямой 3х+у −1=0, сторона ВС лежит на прямой х+3у −22=0, сторона АС лежит на прямой х − у − 2=0, Найти а) угол А; б) уравнение медианы из вершины В; в) уравнение и длину высоты из вершины В.

10. Найти расстояние от точки пересечения прямых и до прямой .

11. Нарисовать окружность с уравнением .

12. Нарисовать кривую, уравнение которой .

13. Построить кривую .

14. Построить гиперболу , найти ее фокусы и эксцентриситет.

15. Постройте параболу . Найдите ее фокус и директрису.

Поверхности и прямые в пространстве

1. Даны точки . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки и .

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярной к плоскости .

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и параллельной плоскости .

5. Найти расстояние между плоскостью и плоскостью .

6. Найти угол между плоскостью и координатной плоскостью .

7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(3,2,1) и параллельной прямой с уравнением .

8. Найти угол между прямой с уравнением и прямой .

9. При каком значении р прямая параллельна плоскости .

10. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости .

11. Изобразить поверхность с уравнением .

Пределы и непрерывность функций

1. Найти .

2. Найти а) б) в) .

3. Найти .

4. Найти 1) 2) 3) .

5. Найти .

6. Найти область определения функции а) б) .

7. Исследовать на непрерывность функцию .

8. Исследовать на непрерывность функцию:
.

9. Исследовать на непрерывность следующие функции : а) ,
б) , в) , г) , г) При каком значении функция непрерывна на всей числовой прямой.

Производная функции, ее геометрический смысл

1. Найти по определению значение производной функции y=x³ в точке 2.

2. Найти по определению производную функции y=x³ в произвольной точке.

3. Найти уравнение касательной к графику функции у=х³ в точке с абсциссой, равной (-1) .

4. Найти а) (x⁷)' ; б) ; г) ; д) .

5. Найти а) ; б) ; в) ; г) :
д) .

6. Найти уравнение касательной к графику функции у = 2∙cos(πх) + х² в точке с заданной абсциссой х₀ = 2 .

7. Найти последовательные производные функции f(x)=е^2х.

8. Найти вторую производную функции y=x² e ^-2x.

Правило Лопиталя. Исследование функций.

1. Найти пределы по правилу Лопиталя: а) ;
б) ; в) ; г) ; д) .
е) ; ж) .

2. Исследовать на монотонность и экстремум функцию у = х³ – 12х – 1.

3. Найти участки монотонности и экстремумы функции у = х∙е^5-х.

4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [1,9].

5. Исследовать графики функций на выпуклость и точки перегиба:
а) ; б) ; в) г) у = 2х⁴ – 24х – 1 .

6. Найти асимптоты графика функции .

7. Исследовать функцию и построить ее график: а) ;
б) у=(х-1)е^1-х ; в) .

Функции многих переменных

1. Нарисовать области определения функций:
а) б) в) г)

2. Построить линии уровня для функции а) ; б) .

3. Найти выражения для обеих частных производных функции z=3x³y² в произвольной точке М(х,у). Найти z^′_у(2,2).

4. Доказать, что функция удовлетворяет условию: .

5. Найти частные производные функций: а)
б) в) .

6. Найти все вторые производные от функции а)z=3x³y² б) .

7. Найти производную функции в точке М(1,2) а)по направлению вектора , где М₁(3,0), б) по направлению, образующего угол 60⁰ с осью х.

8. Найти градиент функции в точке М(1,2).

9. Найти точки экстремума функций: а) z=7x²+3y²−6xу+2х+6у+3
б) z=10xy − х+3 в) z=x²−xy+4y²+3x−2y+3 г) z=x³ +8y³−6xу +3 д) z=e^у(x²+y).

Неопределенный интеграл

1. Вычислить : а) б) в) г) .

2. .

3. Вычислить интегралы методом непосредственного интегрирования:
а) б) .

4. Вычислить интегралы методом внесения под знак дифференциала:
а) б) в) .

5. Вычислить интегрированием по частям: а) б)
в) г) д)

6. Вычислить : а) б) в)
г) .

7. Вычислить : а) б)
в) г) .

8. Вычислить .

9. Вычислить .

10. Вычислить .

11. Вычислить .

Определенный интеграл

1. Вычислить а) б) в)
г) д) (замена ) е) ж) .

2. Найти площадь фигуры, ограниченной а) графиками функций y=−3х, y=2x и прямыми х=1 и х=2; б) графиками функций y=х²+х−9, y=2x+3.

3. Вывести формулу для объема цилиндра высоты H и радиуса основания R.

4. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси х фигуры, ограниченной а) графиками функций и б) графиком функции , .

5. Вычислить несобственные интегралы а) , б) .

Дифференциальные уравнения

1. Является ли функция решением дифференциального уравнения ?

2. Найти общее решение уравнения , построить интегральные кривые этого уравнения.

3. Найти решение задачи Коши .

4. Найти общее решение уравнений (с разделяющимися переменными):
а) б) в) г) .

5. Найти общее решение (или общий интеграл однородных уравнений:
а) б) г) .

6. Найти решение задачи Коши .

7. Найти решения линейных уравнений: а) б) .

8. Найти решение уравнения Бернулли .

9. Найти решение задачи Коши .

10. Решить уравнения: а) б) в) .

11. Найти общее решение уравнений:
а) у′′−6у′+5у=0 б) у′′−10у′+25у=0 в) у′′+2у′+2у=0 .

12. Найти общее решение уравнений:
а) у′′−6у′+5у=2х+3 б) у′′−6у′+9у=(х+1)е^3х в) у′′+2у′+2у=2е^х
г) у′′+2у′+10у=2sinx+3cosx.

Ряды

1. Вычислить .

2. Исследовать сходимость рядов: а) б) .

3. Доказать сходимость рядов (метод сравнения) а) б) .

4. Исследовать сходимость рядов а) б)
в) .

5. Исследовать сходимость рядов (признак Даламбера) : а)
б) в) г) д) .

6. Исследовать сходимость рядов (радикальный признак Коши):
а) б) .

7. Исследовать сходимость рядов (интегральный признак Коши):
а) б) .

8. Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость: а)
б) в) г) .

9. Найти область сходимости функциональных рядов: а)
б) .

10. Найти область сходимости степенных рядов: а)
б) в) г) .

11. Найти область сходимости и сумму ряда а) (интегрировать)
б) (дифференцировать).

12. Пользуясь известными разложениями в ряд некоторых элементарных функций, написать разложение по степеням х следующих функций:
а) б) в) г) .

13. Вычислить приближенно .

Вопросы и задачи для самопроверки

Основы линейной алгебры

1. По какому правилу производится умножение матриц?

2. По какому правилу вычисляются определители матриц? Каковы свойства определителей?

3. Найти определитель матрицы А = .

4. Какие матрицы имеют обратные? Как находить обратную матрицу?

5. Даны матрицы: А = , В = . Найти их произведение. Для матрицы А найти обратную А^-1.

6. Какими формулами определяется матричный метод решения СЛАУ и метод Крамера?

7. Найти матричным методом и методом Крамера решение следующей системы: .

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

8. Как определяется скалярное и векторное произведение векторов? Каковы формулы вычисления скалярного и векторного произведения, угла между векторами по известным их координатам?

9. В пространстве заданы вершины треугольника А(1,–1,0), В(2,1,3) и С(4,0,–3). Найти его углы, площадь, угол между стороной АВ и медианой ВD.

10. Какие имеются виды уравнений прямых на плоскости? Как находить точку пересечения прямых?

11. Как по уравнениям прямых находить угол между ними? Каковы условия перпендикулярности и параллельности прямых?

12. Дана прямая с уравнением 2x + 3y – 6 = 0 и точка М(2,–3). Найти уравнения двух прямых, проходящих через точку М, одна из которых параллельна, а другая перпендикулярна исходной прямой. Найти точку пересечения исходной прямой с перпендикулярной ей прямой.

13. В пространстве заданы вершины треугольника А(1, –1,0), В(2,1,3) и С(4,0, –3). Найти уравнения медианы и высоты треугольника из точки А.

14. Какие существуют виды плоских кривых второго порядка? Каковы их канонические уравнения?

15. Найти уравнение прямой, проходящей через левый фокус эллипса с уравнением 9x² + 25y² = 225 и центр окружности с уравнением

x² + y² + 4x – 2y – 4 = 0 .

16. Построить гиперболу с уравнением 9x² – 25y² = 225 , найти ее эксцентриситет и угол между асимптотами.

17. Как находить уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору и проходящей через данную точку? Как записать уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки? Каковы условия перпендикулярности и параллельности плоскостей?

18. Найти угол между плоскостью 2x – 3y + 5z – 2 = 0 и координатной плоскостью xOz. Найти уравнение плоскости, содержащей точку М(1,2,3) и параллельной плоскости, проходящей через точки А(1,–1,0), В(2,1,3) и С(4,0, –3).

19. Виды уравнений прямой в пространстве. Как найти углы между прямыми, угол между прямой и плоскостью?

20. Найти угол между прямой и плоскостью, а также точку их пересечения. Прямая задана пересечением плоскостей с уравнениями 2x – 3y + 5z–2 = 0 и 5x – 2y + 3z – 2 = 0, а плоскость имеет уравнение 2x – y + z – 3 = 0.

Пределы, непрерывность, производные функции одного переменного

21. Каковы основные способы раскрытия неопределенностей в пределах?

22. Найти .

23. В каких точках непрерывны элементарные функции? Какова классификация точек разрыва функции?

24. Исследовать на непрерывность функцию .

25. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = 2x³ – 15x² + 36x + 2 на отрезке [0; 2.5].

26. Каков геометрический смысл производной? Как написать уравнение касательной к графику данной функции в известной его точке?

27. Написать уравнения касательных к графику функции y = x² – 2x + 2 в точках его пересечения с графиком функции y = 3x – 4 .

28. Найти производную функции .

29. В чем заключается правило Лопиталя?

30. Найти по правилу Лопиталя.

31. Какова схема исследования функции на монотонность и экстремумы?

32. Как находить наклонные и вертикальные асимптоты графика функции?

33. Какова схема общего исследования функции и построения ее графика?

34. Исследовать функцию и построить ее график.

Функции нескольких переменных

35. Что называется областью определения функции двух переменных?

36. Что такое линия уровня?

37. Построить линию уровня функции z = 4 – x² – y² , проходящую через точку А(1;1).

38. Каковы правила нахождения частных производных?

39. Найти частные производные функции .

40. Как вычислить производную функции двух переменных по определенному направлению и ее градиент в заданной точке?

41. Найти градиент и производную функции z = 3x² + xy – 2y² + 5 по направлению, составляющему 30^о с осью абсцисс, в точке А(2;1).

42. Какова схема нахождения экстремумов функции двух переменных?

43. Найти экстремумы функции z = 6x² – 7xy + 2y² + 6x – 3y + 2.

Неопределенный и определенный интеграл

44. Какая функция называется первообразной для данной функции? Сколько первообразных может иметь функция?

45. Что такое метод непосредственного интегрирования?

46. Вычислить .

47. Какие формулы описывают метод замены переменной в неопределенном интеграле?

48. Вычислить .

49. Какой формулой описывается метод интегрирования по частям? Какие классы функций интегрируются этим методом?

50. Вычислить , .

51. По какой схеме вычисляются интегралы от рациональных функций?

52. Вычислить .

53. Какими приемами вычисляются интегралы от тригонометрических функций?

54. Вычислить , .

55. Каковы основные приемы интегрирования иррациональных функций?

56. Вычислить , .

57. Что называется определенным интегралом от функции по заданному интервалу? Какой вид имеет формула Ньютона-Лейбница?

58. Какой вид имеют формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла?

59. Вычислить , .

60. По какой формуле находится площадь фигуры, ограниченной графиками функций?

61. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 3x – 4 , y = x² – 2x + 2.

62. Какой формулой выражается объем тела вращения?

63. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиками функций и .

64. Как определяется несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом?

65. Вычислить .

Дифференциальные уравнения

66. Что такое задача Коши?

67. Какова схема решения дифференциального уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными?

68. Найти решение задачи Коши .

69. Какова схема решения линейного дифференциального уравнения 1-го порядка?

70. Найти общее решение уравнения .

71. Какие уравнения второго порядка допускают понижение порядка?

72. Найти общее решение уравнения .

73. Каковы формулы общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами?

74. Какой вид имеет общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами? Как находить частное решение в случае правой части специального вида?

75. Найти решение задачи Коши .

Числовые и степенные ряды

76. Какие числовые ряды называются сходящимися? Что называется суммой сходящегося ряда?

77. Каков общий признак расходимости рядов?

78. Исследовать на сходимость ряд .

79. Как формулируется признак сравнения для положительных рядов (в простой и предельной форме)? Какие ряды являются «эталонными»?

80. Исследовать на сходимость ряды , .

81. Как формулируются признаки Даламбера и Коши (радикальный и интегральный) сходимости положительных рядов?

82. Исследовать на сходимость ряды , .

83. Какие ряды называются знакочередующимися? Как формулируется признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов?

84. Исследовать на сходимость ряд .

85. Какая связь между сходимостью, абсолютной сходимостью и условной сходимостью знакопеременных рядов?

86. Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость , .

87. Какой вид имеет область сходимости степенного ряда? Как она ищется?

88. Найти области сходимости степенных рядов , .

89. Какие функции могут быть разложены в ряд Тейлора? Как вычислить коэффициенты такого ряда? Что такое ряд Маклорена?

90. Какой вид имеют разложения в степенные ряды функций: y = sin(x), y = cos(x), y = e^x, y = arctg(x), y = (1+x)^m, y = ln(1+x).

91. Разложить функцию y = cos²x по степеням х.