Тема 1. Статика. Законы равновесия механических систем

Содержание заданий СРС модуля 1

по курсу «Механика радиотехнических систем

(Прикладная механика)»

Модуль 1

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Тема 1. Статика. Законы равновесия механических систем

Пример 1. Определить равнодействующую двух сил P₁ = 10 H и P₂ = 25 H, приложенных в одной точке под углом друг к другу α = 60˚.Найти также углы и , образуемые равнодействующей с соответствующими силами (рис.1).

Решение. По теореме косинусов находим равнодействующую силу:

R² = P + P – 2P₁P₂ cos(180˚ – α);

R = Н.

По теореме синусов запишем

.

Отсюда

sin = sin α = = 0,694;

sin = sin α = = 0,277;

44˚; 16˚.

Пример 2. Найти величину равнодействующей системы пяти сходящихся сил: P₁ = 3 H, P₂ = 5 H, P₃ = 6 H, P₄ = 7 H, P₅ = 2 H (рис. 2), если α = 45˚.

Решение. Определяем проекцию равнодействующей на оси x и y:

P_x = –P₅ + P₂cos α + P₃ = –2 + + 6 = 7,54 Н;

P_y = P₁ – P₄ + P₂sin α = 3 – 7 + 3,54 = –0,46 Н.

Затем находим величину равнодействующей силы:

R = 7,54 Н.

Пример 3. К шарниру B кронштейна ABC (рис. 3) приложены силы P₁ = 20 H и P₂ = 15 H.Определить усилия в стержнях AB и BC , пренебрегая весом стержней, если α = 30˚.

Решение. Рассмотрим равновесие шарнира В. Действие связей-стержней на шарнир В заменяем реактивными силами R_A и R_C.

Составляем уравнения равновесия в системе координат xBy:

; – R_A – P₂cos α – R_C cos α = 0;

; P₂sin α – R_C sin α – P₁ = 0.

Из второго уравнения находим R_C = –25 Н, из первого уравнения R_A = 8,7 Н. Таким образом, стержень АВ сжат, стержень ВС растянут.

Пример 4. К балке, лежащей на стойках 1 и 2 (рис.4), подвешен груз G =100 H. Расстояние между стойками l = 1 м. На каком расстоянии a от стойки 1 нужно подвесить груз, чтобы нагрузка на нее не превышала 20 Н?

Решение. Силы давления на стойки 1 и 2 обозначим R₁ и R₂ соответственно. Сила давления R₁ по условию равна 20 Н. Равнодействующая G раскладывается на две параллельные составляющие: G = R₁ + R₂.

Откуда R₂ = G – R₁ = 80 Н.

Составляем пропорцию

,

откуда находим

a = = = 0,8 м.

Пример 5. Балка шарнирно закреплена в опоре А и положена на каток В (рис. 5). Определить реакции в опорах, если Р = 2 Н.

Решение. Выбираем систему координат xAy. Освобождаем балку от связей. Реакция неподвижного шарнира А будет направлено по оси у, поскольку в горизонтальном направлении по оси х активные силы не действуют. Реакция подвижной опоры (катка) R_B перпендикулярна к опорной поверхности катка.

Сила Р является сосредоточенной, а нагрузка интенсивности q распределена равномерно на участке балки длинной а. Интенсивность нагрузки имеет размерность силы, деленной на длину, например Н/м. Интенсивность находят из соотношения q = dQ/dx. Равнодействующую нагрузки получаем интегрированием этого выражения по длине участка: Q =

Точка приложения равнодействующей равномерно распределенной нагрузки находится в середине участка, на котором она действует. Графически распределенную нагрузку изображают над или под брусом (рис. 5).

Составим уравнение равновесия балки:

, M – Pa + R_B 2a – (qa) 2,5a = 0,

откуда

P_A – P_A + R_B 2a – a a = 0, R_B =5Р = 10 Н.

Из уравнения равновесия ;

получим

R_A + R_B – Р – qa = 0;

R_A + 5Р – Р – 4Р = 0;

R_A = 0.

Пример 6. К вертикальному брусу, заделанному нижним концом в основание, приложены силы Р₁, Р₂; Р₃ ­– вес бруса (рис. 6). Определить реакции в заделке, если Р₁ = 2 кН, Р₂ = 2 кН, Р₃ = 4 кН, α = 45˚.

Решение. Выбираем систему координат xAy. Освобождаем брус от связи ­– жесткой заделки, заменяя ее неизвестной реактивной силой R_A с составляющими по координатным осям Х_А, Y_А и парой с неизвестным моментом m_А. Составляем уравнение равновесия бруса в виде

; Х_А + P₁– Р₂sin α = 0; Х_А 0,41 кН;

; Y_А – P₃– Р₂cos α = 0; Y_А 5,41 кН;

; – P₁4 + Р₂sin α3 + m_A = 0; m_A = –3,76 кН.

Знак «минус» в решении третьего уравнения показывает, что истинное направление реактивного момента m_A будет противоположно показанному на рис. 6.

Пример 7. Квадратная прямоугольная плита размер l = 4 м ( = 45˚), весом Р = 20 кН удерживается в горизонтальном положении тросом КС, цилиндрическим подпятником В и шарниром А (рис. 7). Определить реакции связей, если угол между тросом и плоскостью плиты α = 45˚.

Решение. Освободим плиту от связей. Реактивную силу в шарнире А заменим тремя составляющими R_AX, R_AY, R_AZреакцию подшипника R_B заменим двумя составляющими R_BX, R_BZ. Реакция троса R_K направлена по тросу, ее проекция на ось z

R_КZ = R_K sin α = R_K ,

а проекции на оси x, y равны:

R_КX = R_КY = R_K sin α cos = R_K /2.

Составляем уравнение равновесия плиты:

; R_AХ + R_BХ – R_КX = 0;

; R_{A Y} – R_КY = 0;

; R_AZ – P + R_KZ + R_BZ = 0;

; – + R_BZ + R_KZ = 0;

; – R_KZ = 0;

; R_BX = 0.

Из уравнений находим

R_AХ = R_AY = P ; R_AZ = ;

R_BХ = R_BZ = 0;

R_KХ = R_KY = P ; R_KZ = .

Пример 8. Горизонтальный вал (рис. 8) длинной 2l = 100 мм установлен в подшипнике А и подпятнике В. На валу закреплено колесо, на которое действуют силы: окружная F_t = 100 Н, радиальная F_R = 37 Н, осевая F_a = 18 Н. Диаметр колеса d = 200 мм. Определить в положении равновесия момент m и реакции опор А и В.

Решение. Освободим вал от связей. Подшипник А воспринимает только радиальную силу, которую представим двумя составляющими R_{AХ ,} R_AY . Подпятник В воспринимает радиальную и осевую силы: R_BХ , R_BY , R_BZ.

Составляем уравнение равновесия вала:

; F_R – R_АX – R_ВX = 0;

; R_{A Y} + R_BY– F_t = 0;

; R_BZ – F_a = 0;

; R_AY 2 – F_t = 0;

; R_AX 2 – F_a – F_R = 0;

; m – F_t = 0.

Из уравнений находим

m = 10 Нм; R_AХ = 0,5 H; R_AY = 50 H;

R_BХ = 36,5 H; R_BY = 50 H; R_BZ = 18 H.

Пример 9.Определить координаты центра тяжести пластины, показанной на (рис. 9).

Решение. Разбиваем пластину на три фигуры: прямоугольник один без учета отверстия, треугольник 2 и круг 3, площадь которого как отверстия считаем отрицательной. Вычисляем площади фигур:

F₁ = 300 600 = 18 10⁴ мм² ;

F₂ = = 4,5 10⁴ мм² ;

F₃ = = 3,14 10⁴ мм² .

Определяем координаты центров тяжести фигур в выбранной системе координат. Центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан на расстоянии одной трети длины каждой медианы от соответствующей стороны треугольника: у₁= 300 мм, х₁ = 150 мм, у₂ = 100 мм, х₂= 400мм, у₃ = 150 мм, х₃ = 150 мм.

Определяем координаты центра тяжести пластины:

y_c = мм;

х_c = мм.

ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ РГР № 1.