Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий

О. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

О. Если события А и В независимы, то вероятность их совмещения равна произведению вероятности этих событий : Р(АВ) = Р(А)* Р_а(В)

Теорема сложения вероятностей для совместных событий.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления: .

Формула полной вероятности и формулы Байеса.

Формула полной вероятности.

Формула полной вероятностиявляется следствием основных правил теории вероятностей: теорем сложения и умножения вероятностей.

Допустим, что проводится некоторый опыт, об условиях которого можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез):

{ H₁, H₂, ¼, H_n}, H_iÇ H_j=Æ при i¹j. (3.1)

Каждая гипотеза осуществляется случайным образом и представляет собой некоторые события, вероятности которых известны:

. (3.2)

Рассматривается некоторое событие A, которое может появиться только совместно с одной из гипотез (3.2). Заданы условные вероятности события A при каждой из гипотез:

(3.3)

Требуется найти вероятность события A. Для этого представим событие A как сумму n несовместных событий

A = (AÇH₁)È(AÇH₂) È... È(AÇH_n). (3.4)

По правилу сложения вероятностей .

По правилу умножения вероятностей P(H_iÇA)=P(H_i)×P(A/H_i). Тогда полная вероятность события A:

, (3.5)

т.е. полная вероятность события A вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе.

Формула (3.5) называется формулой полной вероятности. Она применяется в тех случая, когда опыт со случайным исходом распадается на два этапа: на первом “разыгрываются” условия опыта, а на втором – его результаты.

Формула Байеса.

Следствием правила умножения, и формулы полной вероятности является теорема гипотез или формула Байеса.

По условиям опыта известно, что гипотезы несовместны, образуют полную группу событий:

Ø при и .

Вероятности гипотез до опыта (так называемые «априорные вероятности») известны и равны

;

Предположим, что опыт произведен и в результате появилось событие A. Спрашивается, как нужно пересмотреть вероятность гипотез с учетом этого факта, или, другими словами, какова вероятность того, что наступлению события A предшествовала гипотеза (послеопытные вероятности называются апостериорными):

.

Вероятность наступления события A совместно с гипотезой H_k определяется с использованием теоремы умножения вероятностей:

P(AÇH_k)=P(H_k)×P(A/H_k)=P(A)×P(H_k/A). (3.6)

Таким образом, можно записать:

P (H_k/A) =P (H_k) ×P (A/H_k)/P (A). (3.7)

С использованием формулы полной вероятности

. (3.8)

Формула (3.8) называется формулой Байеса. Она позволяет пересчитывать вероятности гипотез в свете новой информации, состоящей в том, что опыт дал результат А

34. Повторные независимые испытания: постановка задачи, формула Бернулли.

Опр.: некоторые испытания называются независимыми относительно событию А, если вероятность появления события А в каждом исходе не зависит от исходов других испытаний.

Постанова задачи: Пусть производится серия из n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р, а вероятность непоялвения события А также непостоянна и равна q=1-р

Тогда вероятность того, что в этой серии событие А наступит ровно k раз равна:

.

35. Локальная теорема Муавра-Лапласа: формулировка теоремы, приближенная формула.

Если испытания удовлетворяют схеме Бернулли, причем n>10 , а верностность появления события А в каждом испытании отлична от 0 и 1, то для вычесления вероятности появления события А в n испытаниях ровно k раз используют приближенную формулу из локальной теоремы Муавра- Лапласса:

, где ,

ЧЕТНА!

36. Интегральная теорема Муавра-Лапласа: формулировка теоремы, приближенная формула.

Пусть испытания удовлетворяют схеме Бернулли, n>10, а вероятность появления события А в одном испытании постоянна и отлична от 0и 1 . ,тогда для определения вероятности того, что событие А появится от K₁ до K₂ раз, пользуются прибледенной формулой из интегральной теоремы Муавра- Лапласса:

_{, /}

_{НЕЧЕТНА!}

37. Теорема Пуассона: формулировка теоремы, приближенная формула.

Если число испытаний велико n>10, а вероятность появления события А в каждом испытании достаточно мала(меньше 0,01), то для вычисления вероятности того, что событие А появится ровно k раз используют приближенную формулу из предельной теоремы Пуассона: