Геометриялық орындар әдісі

Салу есептерін шешуде пайдаланылатын геометриялық орындар әдісінің мәнісі мынада. Айталық, салу есебін шешкенде екі шартты бірдей қанағаттандыратын X нүктесін табу керек болсын. Бірінші шартты қанағаттандыратын нүктелердің геометриялық орны қайсыбір Ғ₁ фигурасы болады, ал екінші шартты қанағаттандыратын нүктелердің геометриялық орны қайсыбір Ғ₂ фигурасы болады. Ізделінді X нүктесі Ғ₁ фигурасына да, Ғ₂ фигурасына да тиісті, яғни олардың қиылысу нүктесі болып табылады.

Сурет40

Егер бұл геометриялық орындар қарапайым болса (мысалы, түзулер мен шеңберлерден тұрса), біз оларды сала аламыз және қажетті X нүктесін тауып алуымызға болады. Мысал келтірейік.

Есеп (12). A, В, С үш нүкте берілген, А және В нүктелерінен бірдей қашықтықта және С нүктесінен берілген қашықтықта X нүктесін табу керек.

Ш е ш у і. Ізделінді X нүктесі екі шартты қанағаттандырады:

1) ол А мен В нүктелерінен бірдей қашықтықта жатады;

2) ол С нүктесінен берілген қашықтықта жатады.

Бірінші шартты қанағаттандыратын нүктелердің геометриялық орны — АВкесіндісіне перпендикуляр әрі оның ортасынан өтетін түзу (40-сурет). Екінші шартты қанағаттандыратын нүктелердің геометриялық орны — центрі С нүктесінде, ал радиусы берілген ара қашықтыққа тең болатын шеңбер. Ізделінді X нүктесі осы геометриялық орындардың қиылысуында жатады.

Есеп (13). Ұқсас үшбұрыштар периметрлерінің қатынасы олардың сәйкес қабырғаларының қатынасындай болатындығын дәлелдеңдер.

Шешуi: Айталық, ABC және А₁В₁С₁- ұқсас үш­бұрыштар болсын. Сонда А₁В₁С₁ үшбұрышының қабырғалары ABC үшбұрышының қабырғаларына пропорционал болады, яғни A₁В₁ = kAB, В₁С₁꞊ kВС, А₁С₁ = kАС. Осы теңдіктерді мүшелеп қоссақ, шығатыны:

A₁В₁ + В₁С₁ + А₁С₁= k(AB+ ВС +АС).

Бұдан ,

яғни үшбұрыштардың периметрлерінің қатынасы олардың сәйкес қабырғаларының қатынасындай болады.

Есеп (14). С бұрышы сүйір болып келген ABC үшбұрышының АЕ мен BDбиіктіктері жүргізілген. (41-сурет). Сонда ∆ABC ∞ ∆EDC болатынын дәлелдеңдер.

Ill е ш у i. ABC мен EDC үшбұрыштарының С төбесіндегі бұрыш екеуіне ортақ. Осы бұрышпен іргелес жатқан қабырғалардың пропорционал болатынын дәлелдейік. Сонда, ЕС꞊AСcosγ, DC꞊ВСcosγ. Яғни үшбұрыштардың Сбұрышына іргелес жатқан қабырғалары пропор­ционал болады. Демек, eкi қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы бойынша ∆ABC ∞ ∆EDC болады.

Есеп. АВС үшбұрышының АВ қабырғасына параллель жүргізілген түзу оның АС қабырғасын A₁ нүктесінде, ал ВС қабырғасын В₁ нүктесінде қиып өтеді. Сонда ∆АВС ∞ ∆А₁В₁С₁ болатынын дәлелдеңдер.

41-сурет

Шешуi. (41-сурет). АВС және А₁В₁С₁ үшбұрыштарыныңСтөбесіндегі бұрышы ортақ, алСА₁В₁ және CAB бұрыштары тең, өйткені оларАВменА₁В₁ параллель түзулерін AC түзyi қиып өткенде шығатын сәйкес бұрыштар. Олай болса, eкi бұрышы бойынша∆АВС ∞ ∆А₁В₁С₁болады.

Осы бұрыш бұру бұрышы деп аталады. Жазықтықты бұру арқылы

фигураны түрлендіруді де бұру деп атайды.

Есеп (15). 1) O нүктесінен айналдыра сағат тілінің бағытымен 60° бұрышқа бұрғанда А нүктесі ауысатын А₁ нүктесін салыңдар.

.

Сурет42 Сурет43

2) О нүктесінен айналдыра сағат тілінің бағытымен 60° бұрышқа бұрғанда АВ кесіндісі ауысатын фигураны салыңдар.

Шешуі. 1) ОАсәулесін жүргізіп, АОМ — 60° болатындай, ОМ сәулесін саламыз (42, а - сурет). ОМ сәулесінің бойына ОА кесіндісіне тең ОА₁ кесіндісін өлшеп саламыз. А₁ нүктесі — ізделінді нүкте.

2) АВ кесіндісінің ұштары болып табылатын А және В нүктелері осындай бұру арқылы ауысатын А₁және В₁ нүктелерін саламыз (42, б - сурет). Бұру орындалғанда кесінді кесіндіге ауысатын болғандықтан, А₁В₁ ізделінді кесінді болмақ,.

Есеп (16). Пареллель көшіргенде (1; 1) нүктесі (-1; 0) нүктесіне көшеді. Координаттар басы қай нүктеге көшеді?

Ш е ш у і. Параллель көшірудің қандайы болса да , мына формулалармен көрсетіп беріледі:

х' = х + а, у'= у + b.

Ал (1;1) нүктесі (-1; 0) нүктесіне көшетіндіктен, -1 = 1+ а, 0 = 1 + b болады. Бұдан а= - 2, b= - 1 табылады. Сонымен, (1;1) нүктесін (-1; 0) нүктесіне көшіретін осы алынған параллель көшіру х' = х - 2, у' = у - 1 формулаларымен көрсетіп беріледі. Осы формулаларға бас нүктенің (х = 0, у = 0) координаттарын қойсақ, мынау шығады: х' = - 2, у'=-1. Сонымен, координаттар басы (-2; -1) нүктесіне көшеді.

Есеп (17). АВ мен CD — параллель түзулер. А мен D нүктелері ВС қиюшысының бір жағында жатыр. Сонда ВА мен CD сәулелерінің бірдей бағытталатынын дәлелдеңдер.

Шешуі. CD сәулесін параллель көшіре отырып, С нүктесін В нүктесіне көшіреміз (21-сурет). Сонда CD түзуі ВА түзуіне үйлесе түседі. D нүктесі СВ түзуіне параллель түзу бойымен жылжи отырып, ВС түзуіне қарағанда сол жарты жазықтықта қала береді. Сондықтан CD сәулесі ВА сәулесімен үйлесе түседі, олай болса, бұл сәулелер бірдей бағытталған болғаны.

Планиметрия курсында геометриялық есепті шешудің жалпы әдіс - тәсілдері және есептерді шешуге мысалдар

Геометрияны оқытуда есептерді шеше білу дағдысын қалыптастыру және оны жалпы түрде дамыту аса маңызды мәселелердің бірі болып табылады. Геометриялық есептерді шешу туралы жалпы білік - дағдылар әдетте көптеген есептерді шешу арқылы қалыптасады. Олай болса, мұғалім мен оқушының жүйелі түрде ұзақ уақыт еңбектенуіне тура келеді. Шешілу жолы беймәлім, әр түрлі теориялық фактілерді байланыстыруды қажет ететін, оқушылар шығара алмайтын жаңа есептер де жиі кездеседі. Сондықтан оқушыларды кез келген геометриялық есепті шешудің жалпы тәсілдерімен қаруландыру керек. Бұл талап математикалық есептерді шешу бағдарламасында да айтылған. Бағдарлама белгілі бір есептердің түрлерін және оларды шешудің тәсілдерін таныстыруға бағытталып қана қоймай, қайта дәлелдеудің барынша жалпы әдістерін ойлауды меңгерту болып табылады. Оқытушы оқушыларға әрбір есепті шығартқанда, оның шешімін әдістемелік талаптарға сай іздеуге, соңында мақсатқа сай дұрыс шешімді табуға жәрдемдесетіндей талдау тәсілдері мен қажетті білім-білік дағдыларын қалыптастыруға ұмтылады. Теориялық және әдістемелік білім мен әдіс - тәсілсіз кез-келген әдістемелік есепті шешуге бола бермейді. Практикадан байқалатындай, көбінесе геометрия есептері әр түрлі тәсілдермен логикалық тұрғыда көбірек ойлануды қажетсінеді. Геометрия есептерін шешудің кезеңдерін білу оқушыларда қалыптастырылуға тиісті аса маңызды дағдылардың бірі.

Есептерді шешу процесі келесі кезеңдерден тұрады.

1) Есептің шартын түсіну:

а) есепті талдау;

б) есеп шартын схема түрінде жазу.

Есепті талдағанда оның шарты қандай, онда қандай талап қойылған (не берілген, не белгілі, есеп шарты неден тұрады?) екені анықталады. Есеп шартын схема түрінде жазғанда оның сызбасы қоса қарастырылады, осы талдаудың нәтижесінде есеп шартындағы ең керекті, таныс элементтер ескеріліп, олар қысқаша жазылады. Есепті талдау мен оның сызбасын және шартын схема түрінде қысқаша жазу — есепті шешу үшін жоспар іздеудің негізгі құралы болып табылады. Есепті талдай келе осы есепке қандай мөлшерде теориялық білімнің қажет болатындығы анықталады.

2) Есеп шешімін іздеу — есепті шешудің тәсілін іздеу, бұл бүкіл процестің негізгі бөлігі болып табылады. Бұл кезеңде ең алдымен берілген есептің түрі (типі), яғни оның дәлелдеуге, есептеуге не геометриялық түрлендіруге берілгені анықталады, осыған орай есепті шешу тәсілі ізделеді. Есеп шартында берілген элементтер мен іздеуге, анықталуға тиісті белгісіздер арасындағы байланыс ізделеді.

3) есеп шешімін іздеуде бір-бірімен тығыз байланысты мынадай екі жақты мәселені анықтайды:

а) белгілі теориялық білімді шешілуге тиісті есеп шартына сай түрлендіру;

б) есеп шартын белгілі теориялық фактілерге сәйкес және оларға байланысты түрлендіру.

Бұл арада теориялық білім деп отырғанымыз математикалық ұғымдар мен олардың анықтамалары, теоремалар және математикадағы негізгі әдістер (координаттар әдісі, векторлық әдіс, геометриялық түрлендірулер мен теңдеулер құру әдісі және т.б.). Есептердің түрі мен құрылысына қарай оларды кластарға жіктеп талдаумен шешу әдістерін таңдап алады. Әсіресе, бірнеше теориялық материалдарды біріктіретін, әрі күрделі, әрі көптеген есептерді шешуге теориялық әдістемелік негіз болатын тірек есептерін талдау кезінде белгілі бір гипотеза ұсынылады және оның іске асырылуы тексеріледі. Есеп шешімін іздеу үшін гипотеза ұсына отырып, осы есепке нақтылы қандай теориялық материал керек болатынын анықтаймыз. Теориялық білімді негіздеуші әдісті таңдап, гипотезаны тексереміз. Егер есепті талдағанда бұрыннан таныс элементті байқасақ, не ол шешілуі таныс есепке ұқсас болса, онда есепті шешу үшін белгілі әдісті қолдану мүмкіндігі туралы ой, не есепті шешу жоспары пайда болады. Егер есептің таныс емес түрін шығаруға тура келсе, онда одан бұрыннан таныс есептердің кемінде бір элементін іздейміз немесе берілген есеп шартын бұрын шешілген есептегі таныс бір элемент табылатынын талдаймыз.

4) Жоспарды іске асыру. Бұл арада шешу идеясы табылып, есеп шешіледі.

5) Шешілген есепті талқылау:

а) есеп шешімін тексеру;

б) есепті зерттеу;

в) есеп шешімін әр түрлі параметрлер мен байланыстар бойынша талдау.

Есептің шешілуінің және оған қолданылған әдістер мен теориялық негіздеулердің дұрыс екенін, ол шешім есеп шартының барлық талаптарын қанағаттандыратынын білу үшін оны тексеру керек. Есепті зерттеу келесі мәселелерді анықтауы керек: қандай шарт орындалғанда есептің шешімі бар; қандай шарт орындалғанда есептің жалпы шешімі жоқ болады?

Есептің шешімін талдау мынадай мәселелерге жауап береді.

· Есепті шешудің бұдан басқа ең тиімді жолы жоқ па?

· Есепті жалпылауға бола ма?

· Осы есептен қандай қорытындылар жасауға болады?

Есепті шешу процесінің құрылымы ең алдымен есептің сипатына, есеп шығарушының қандай біліммен, білікпен, дағдымен қаруланғанына тікелей байланысты.

Салу есебін шешу талдау, салу, дәлелдеу, зерттеу кезеңдерінен тұрады. Салу есебін шешуде бұл схеманы барлық есепті де шығару үшін қатаң қолдану міндетті емес. Бұл схеманың мәні төмендегідей:

1. Талдау кезеңі. Бүл кезеңде есеп шартында берілген фигуралар мен салынатын фигура арасындағы қатыстарды анықтайды. Ол үшін есеп шешілген деп ұйғарып, салынған фигураның жоба суреті салынады. Осы жоба суретте берілген фигуралар мен салынған фигуралар арасындағы қатыстарды талдай отырып, ізделінді фигураны салу қадамдарын белгілейді. Сөйтіп, талдау кезеңі есепті шешу, фигураны салу жолдарын іздестіру нәтижесінде ізделінді фигураны салу қадамдарын тізбектей белгілеумен аяқталады.

2. Салу кезеңі. Бұл кезеңде талдау арқылы анықталған салу қадамдарын циркуль және сызғыш жәрдемімен бірінен соң бірі тізбектей орындалады. Сонда талдау кезеңінде салынған жоба сурет іздеген фигураның нағыз суретіне айналады.

3. Дәлелдеу кезеңі. Бұл кезеңде салынған фигураның есептің барлық шарттарын қанағаттандыратынын дәлелдейді. Сөйтіп салынған фигураның шынында да іздеп отырған фигура екеніне көз жеткізіледі.

4. Зерттеу кезеңі. Бұл кезеңде мына сұрақтарға жауап беріледі:

а) Таңдап алған әдіспен есепті шешу әр уақытта мүмкін бе, яғни циркуль және сызғыш жәрдемімен оны салуға болады ма?

б) Есептің қандай жағдайда шешімі бар және қанша, қандай жағдайда шешімі болмайды?

Міне осы сұрақтарға жауап іздеу зерттеу кезеңінің міндеті болып табылады. Яғни, зерттеу бөлімінің міндеті есептің шешілу шарттарын және шешім санын анықтау. Бұл кезеңде есептегі барлық мүмкін жағдайларын қарастыру үшін әрбір салу қадамдарын зерттеген жөн [30].

18-есеп. Бір қабырғасы және басқа екі қабырғаларына жүргізілген медианалары бойынша үшбұрыш салу.

Шешуі. Есеп шарты бойынша салынатын үшбұрышқа тиісті үш кесінді берілген: бір қабырғасы а, медианалары m_1, m₂.

Талдау. Есеп шешілген, яғни бір қабырғасы АС-а, медианалары АА₁=m₁ СС₁=m₂ болатын ∆АВС салынған дейік (45, а-сурет). АА₁ ∩ СС₁=0 дейік. Онда медиана қасиеті бойынша С0=2ОС₁; АО=2ОА₁, болуы керек. Демек СО=2/3m₂; АО=2/3 m₁; Ал, О С₁=1/3 m₂, ОА₁=1/3 m₁;

Сурет-45

Үшбұрыш өзінің үш төбесімен толық анықталады. Табаны АС=а салсақ A және С төбелер анықталады да, В төбесін салу ғана қалады. Ал, В=АС₁∩СА₁ болғандықтан, В нүктесін салу үшін С₁ мен А₁ нүктелерін салу керек. С₁ нүкте СО, А₁ нүкте АО сәулелерінде жатқандықтан А₁ мен С₁ ді салу үшін О нүктені салу керек.

Еrep О нүкте caлынса AO-ғa АА₁ = m₁, CO ға СС₁= m₂ өлшеп салса, B нүктесі табылады. Сонымен салу есебінің шешімі О нүктені табуға тірелді. ∆АОС- ны салсақ О нүкте салынады.

Салу. Талдауда анықталған салу қадамдарын еске ала отырып циркуль және сызғыш жәрдемімен мыналарды тізбектей саламыз:

1. Кез келген l түзуі бойына АС=а кесіндіні өлшеп саламыз.

2. Үш қабырғасы AC=а, АО=2/З m₁, СО=2/З m₂ бойынша ∆АОС -ны саламыз.

3. AO, СО сәулелеріне АА₁ = m_1, СС₁= m₂ кесінділерді өлшеп саламыз.

4. АС_1, СА₁ түзулерінің қиылысу нүктесі В - ны табамыз. Сонда шыққан ABC ізделінді үшбұрыш болады.

Дәлелдеу. Салу бойынша AC=a, АА₁=АО + ОА₁ = 2/З m₁ + 1/З m₁ = = m₁,

СС₁ = 2/3 m₂ + 1/3 m₂ = m₂. Енді АА₁ және СС₁ кесінділері салынған ABC үшбұрышының медианасы екенін, яғни АА₁= АВжәне СС₁= С₁В болатындығын көрсетуіміз керек. Ол үшін А₁С₁ кесіндісінің ABC үшбұрышының орта сызығы екенін дәлелдеу жеткілікті. Егер D₁ нүкте AO, E₁ нүкте СО кесінділерінің ортасы болса, D₁E₁A₁C₁ төртбұрыш параллелограм болады (45,б-сурет). Себебі

ОD₁=ОА_1, ОЕ₁=ОС₁. Сондықтан А₁С₁= D₁Е_1, A₁C₁ || D₁E₁ болады. D₁E₁ кесінді ∆АОС - ның орта сызығы болғандықтан D₁E₁||АС және С₁А₁= D₁E₁=AC/2 болады. Демек С₁А₁ кесінді ∆АВС - ның орта сызығы болады. Сондықтан АА_1, СС₁ ол үшбұрыштың медианалары. Демек салынған ∆АВС есеп шартын қанағаттандырады, олай болса ол ізделінді үшбұрыш.

Зерттеу. Егер ∆АОС салу мүмкін болса, ∆АВС салу әруақытта бірмәнді орындалады.

∆АОС салу 2/3 | m₂ – m₁ | < a < 2/3 | m₂ + m₁ | болған кезде ғана мүмкін.

Мұндай жағдайда есептің жалғыз шешімі болады.

2/3 | m₂ –m₁| > a > 2/3 | m₂ + m₁ | есептің шешімі болмайды [30].