Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема о размерности изоморфных пространств

Определение.Изоморфизмом линейных пространств называется взаимно однозначный линейный оператор. Если существует изоморфизм , то линейные пространства и называются изоморфными. Изоморфизм обозначается так: .

Так как изоморфизм – взаимно однозначное отображение, то изоморфные объекты содержат одинаковое количество элементов. Кроме того, в силу линейности, действия, производимые над элементами пространства , одновременно производятся и над элементами пространства . Поэтому в математике изоморфные объекты не различаются.

Теорема 4.8.Изоморфные линейные пространства имеют одинаковые размерности.

►Пусть и пусть – изоморфизм. Выберем в какой-либо базис

(4.27)

и покажем, что система

– (4.28)

базис пространства . Действительно, в силу взаимной однозначности f, единственный такой, что . Тогда, если , то . Значит, (4.28) – система образующих в .

Докажем теперь линейную независимость (4.28).

[линейность f]

[взаимная однозначность f ] [линейная независимость (4.27)] {(4.28) – линейно независима}.

Таким образом, (4.28) – базис в , а значит, . ◄

Вопрос 25

Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема об изоморфизме пространств одинаковой размерности

Определение.Изоморфизмом линейных пространств называется взаимно однозначный линейный оператор. Если существует изоморфизм , то линейные пространства и называются изоморфными. Изоморфизм обозначается так: .

Так как изоморфизм – взаимно однозначное отображение, то изоморфные объекты содержат одинаковое количество элементов. Кроме того, в силу линейности, действия, производимые над элементами пространства , одновременно производятся и над элементами пространства . Поэтому в математике изоморфные объекты не различаются.

Теорема 4.9. Все n-мерные линейные пространства над полем Р изоморфны между собой, т. е. существует единственное с точностью до изоморфизма n-мерное линейное пространство над полем Р.

►а) Докажем, что .

Выберем в какой-либо базис . Тогда : . Обозначим . Очевидно, отображение – взаимно однозначное. Кроме того, , :

:

Поэтому f – линейный оператор, а значит, и изоморфизм. Итак, .

б) Пусть теперь и – n-мерные линейные пространства над одним и тем же полем Р. Тогда

{ и } [симметричность] { и и } [транзитивность] { }.◄

Таким образом, мы показали, что с точки зрения математики единственным n-мерным линейным пространством над полем Р является .

Вопрос 26

Линейные формы

Определение.Линейной формой на линейном пространстве над полем называется линейный оператор .

Мы уже знаем, что множество всех линейных форм на линейном пространстве также является линейным пространством над тем же полем, что и , относительно операций сложения линейных форм и умножения линейной формы на число. Пространство будем называть сопряженным пространству , и обозначать , его элементы назовем ковекторами и тоже для удобства отметим стрелками, но снизу (например, ).

Рассмотрим -мерное линейное пространство и выберем в нем какой-либо базис:

. (4.37)

Пусть – произвольный вектор пространства , – линейная форма. Тогда

. (4.38)

Мы видим, что значение линейной формы для вектора зависит от его координат и некоторых чисел , вовсе с вектором не связанных. Обозначим и назовем эти числа компонентами формы в базисе (4.37). Теперь (4.38) можно переписать и так: .

Выберем в ещё один базис

(4.39)

и обозначим компоненты линейной формы в базисе (4.39).Тогда

= = [определение матрицы перехода] = =

= [линейность ] = .

Мы получили закон изменения компонент линейной формы при изменении базиса.

В пространстве линейных форм выберем линейных форм

(4.40)

по следующему принципу:

,

т. е. форма принимает значение, равное 0, для всех базисных векторов, за исключением одного, , для которого она принимает значение, равное 1. Существование таких форм вытекает из теоремы 4.1. Докажем линейную независимость (4.40). Как обычно, составим линейную комбинацию и приравняем ее нейтральному элементу.

{(4.40) линейно независима}.

Пусть теперь – произвольная линейная форма, – ее компоненты в базисе (4.40). Обозначим . Тогда

Таким образом, = , следовательно, система (4.40) в пространстве является системой образующих, а значит, и базисом. Итак, пространство, сопряженное к конечномерному линейному пространству, имеет ту же размерность. Базисы (4.37) и (4.40) пространств и называются сопряженными или взаимными. Следовательно, компоненты линейной формы в базисе (4.37) пространства – это её координаты во взаимном базисе пространства .

Вопрос 27