I. носители пространств

Введение

Физикам интересна Природа, им интересны первопричины появления Мира, то есть что произошло “при родах” Вселенной, и по каким законам она развивается. Они полагают, что всё подчиняется вполне определённым законам, и мы их поймём, не обращаясь к внешним источникам, которых просто нет. Но глаза физики I. носители пространств - student2.ru это математика. Поэтому важно понять, как устроен этот инструмент, чтобы знать, где мы видим “ то, что есть”, а где миражи и иллюзии.

Математики ищут общие конструктивные принципы, позволяющие с единых позиций понять, как устроена математика, благодаря которой мы и смотрим на Вселенную, если наши мозги работают логично. Та “реальность”, которую изучают математики, включает в себя все возможные с математической и логической точки зрения Вселенные. Во многом прав Г.В. Лейбниц, который назвал математику физикой возможных Миров. Одна из главных конструктивных идей, позволяющих обосновать математику, это идея сходимости, которая опирается на идею бесконечности. Собственно говоря, функциональный анализ I. носители пространств - student2.ru это песнь о сходимости. Всё остальное I. носители пространств - student2.ru реквизит (requisitum (лат.) I. носители пространств - student2.ru необходимое) для её исполнения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бронштейн Е.М. Основы функционального анализа. Уфа: УГАТУ, 2004.- 62 с.

2. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. Наука, 1984.

3. Князев П.Н. Функциональный анализ. Минск, «Вышэйшая школа»,1985.

4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Наука, 2002.

5. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. Высшая школа, 1982.

6. Ольховой А.Ф. Введение в функциональный анализ. Таганрог, 2011.-146с.

7. Пугачев В.С. Лекции по функциональному анализу. М., Изд. МАИ. 1996.

8. Садовничий В.А. Теория операторов. М., Высшая школа, 1999.

9. Треногин В.А. и др. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М., Мир, 1984.

10. Треногин В.А. Функциональный анализ. Высшая школа, 2002.

11. Функциональный анализ. Под редакцией С.Г. Крейна. М., Наука, 1964.

I. НОСИТЕЛИ ПРОСТРАНСТВ

Никто не сможет изгнать нас из рая, который

создал для нас Георг Кантор!

Д.Гильберт

Теория Кантора в целом является патологическим казусом

в истории математики, от которого грядущие поколения придут в ужас.

Л.Брауэр

1. ВВЕДЕНИЕ. ГЛАВНЫЕ ПЕСНИ О СТАРОМ

Всё не так просто, как кажется. И даже просто не так.

Алекс Алдер

1. МНОЖЕСТВА

Определение 1. Множество – совокупность элементов, связанных между собой определёнными отношениями,а с элементами других множеств определёнными соответствиями.

Замечание. “Множество есть многое, мыслимое как единое целое” (Г. Кантор –создатель теории множеств).

Определение 2.Задать множество – указать эффективное и недвусмысленное правило, с помощью которого о любом элементе можно сказать: является ли он элементом данного множества.

Комментарий. Эффективность правила означает, что результат его применения достижим за конечное время.

Пример.Множество красивых девушек не является множеством I. носители пространств - student2.ru нет определения красоты.

Задать множество можно перечислением его элементов (для конечных множеств) или указанием характеристического свойства I. носители пространств - student2.ru, то есть такого свойства, которым обладают все элементы задаваемого множества и не обладают никакие элементы никаких других множеств. Обычно множество выделяется из более общего множества, которое называется UNIVERSUM (вселенная) и обозначается буквой U.

На универсуме Uмножества обозначаются кругами, которые называются кругами Эйлера. Множества обозначаются большими буквами латинского алфавита, элементы – соответствующими маленькими (рис.1).

I. носители пространств - student2.ru I. носители пространств - student2.ru

I. носители пространств - student2.ru I. носители пространств - student2.ru

Рис.1Hhhfghfutu6uu1111111111111111111

Знак I. носители пространств - student2.ru означает принадлежность и применяется для элементов, I. носители пространств - student2.ru – не принадлежать, I. носители пространств - student2.ru – принадлежать для множеств. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается I. носители пространств - student2.ru .

Комментарий. Пустое множество единственно. В самом деле, пусть существуют два разных пустых множества. Это значит, что в одном из них найдется элемент, который не принадлежит другому. Но в пустых множествах нет элементов!

Определение 3.Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначается I. носители пространств - student2.ru .

Пример. I. носители пространств - student2.ru; но I. носители пространств - student2.ru , так как единственным элементом множества I. носители пространств - student2.ru является упорядоченная пара I. носители пространств - student2.ru , а множество I. носители пространств - student2.ru состоит из двух элементов: 1 и 2, и, наконец, I. носители пространств - student2.ru I. носители пространств - student2.ru это три разных множества.

Определение 4. Множество I. носители пространств - student2.ru есть подмножество множества I. носители пространств - student2.ru , если I. носители пространств - student2.ru справедливо I. носители пространств - student2.ru . Обозначается: I. носители пространств - student2.ru . Говорят, что множество I. носители пространств - student2.ru строго включено во множество I. носители пространств - student2.ru , если I. носители пространств - student2.ru справедливо, что I. носители пространств - student2.ru , но I. носители пространств - student2.ru .

Комментарий. В функциональном анализе очень часто тот факт, чтомножество I. носители пространств - student2.ru есть подмножество множества I. носители пространств - student2.ru обозначают I. носители пространств - student2.ru I. носители пространств - student2.ru .

Определение 5. I. носители пространств - student2.ru , если I. носители пространств - student2.ru и I. носители пространств - student2.ru (т.е. они состоят из одних и тех же элементов).

Пример. I. носители пространств - student2.ru, так как единственным элементом множества I. носители пространств - student2.ru является множество I. носители пространств - student2.ru .

Определение 6.Рассмотрим множество I. носители пространств - student2.ru всех подмножеств конечного множества I. носители пространств - student2.ru , то есть I. носители пространств - student2.ru содержит пустое множество I. носители пространств - student2.ru и само множество I. носители пространств - student2.ru . Эти подмножества называются несобственными, а остальные собственными (собственно говоря, они и есть нетривиальные подмножества).

Пример.Пусть I. носители пространств - student2.ru , тогда I. носители пространств - student2.ru I. носители пространств - student2.ru .

I. носители пространств - student2.ru

Рис. 2
Определение 7.Объединением множеств I. носители пространств - student2.ru и I. носители пространств - student2.ru ( I. носители пространств - student2.ru (читается I. носители пространств - student2.ru чашка I. носители пространств - student2.ru ) называется новое множество I. носители пространств - student2.ru , элементами которого являются элементы множества I. носители пространств - student2.ru или элементы множества I. носители пространств - student2.ru : I. носители пространств - student2.ru (рис.2).

Комментарий. Слово “или” употребляется в неразделительном смысле и обозначается значком I. носители пространств - student2.ru , который называется дизъюнкция (от лат. disjunctio – разобщение, различие). Тогда I. носители пространств - student2.ru .

Аналогично даются определения остальных операций над множествами. Мы их просто выпишем.

I. носители пространств - student2.ru

Рис. 3
Определение 8. Пересечение: I. носители пространств - student2.ru(читается I. носители пространств - student2.ru крышка I. носители пространств - student2.ru ).

I. носители пространств - student2.ru (рис.3). Слово “и” обычно заменяют значком I. носители пространств - student2.ru - “конъюнкция” (от лат. conjunctio – союз, связь), и тогда множество I. носители пространств - student2.ru описывается так: I. носители пространств - student2.ru .

I. носители пространств - student2.ru

Рис. 4
Определение 9. Разность: I. носители пространств - student2.ru (рис. 4) - все те элементы множества I. носители пространств - student2.ru , которые не являются элементами множества I. носители пространств - student2.ru .

Определение 10. Симметрическая разность (дизъюнктивная сумма):

I. носители пространств - student2.ru

Рис. 5
I. носители пространств - student2.ru (рис.5).

I. носители пространств - student2.ru

Рис.6
Определение 11.Дополнениеммножества I. носители пространств - student2.ru до универсума называется множество, состоящее из всех тех элементов универсума, которые не являются элементами множества I. носители пространств - student2.ru (рис. 6). Обозначают I. носители пространств - student2.ru .

Определение 12.Функция I. носители пространств - student2.ru называется характеристической функцией множества I. носители пространств - student2.ru .

Легко составить характеристические функции для всех перечисленных операций. Они называются таблицами Буля. С их помощью легко доказываются свойства операций над множествами.

Наши рекомендации