Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку

Поверхнею обертання називається поверхня, утворена обертанням плоскої лінії навколо прямої, що знаходиться у тій же самій площині. Пряма, навколо якої відбувається обертання, називається віссю обертання.

Рис. 47.1

Розглянемо криву , яка в системі координат знаходиться у площині і задається рівнянням

Знайдемо рівняння поверхні, що утворюється обертанням цієї кривої навколо осі (Рис.47.1). Розглянемо довільну точку поверхні . Через цю точку проведемо площину, перпендикулярну до осі . Нехай - точка перетину цієї площини з віссю , а - точка перетину з кривою . Тоді , а . Але , як радіуси одного кола. Отже, координати точки дорівнюють і оскільки точка належить кривій , то мають задовольняти рівняння :

Таким чином, є рівнянням розглянутої поверхні обертання. Аналогічно отримується рівняння поверхні, що утворюється обертанням кривої навколо осі

Коли лінія знаходиться у площині і її рівняння

то рівняння поверхні, утвореної обертанням цієї лінії навколо осі має вигляд:

Розглянемо поверхні, що утворюються при обертанні кривих другого порядку, заданих канонічними рівняннями.

1. Еліпсоїд обертання.

Нехай еліпс, що знаходиться у площині , задається рівнянням

і обертається навколо осі (Рис. 47.2)

Рис. 47.2

Утворена при цьому поверхня називається еліпсоїдом обертання і має рівняння (див.)

2. Однопорожнинний гіперболоїд обертання

Візьмемо у площині гіперболу

і здійснимо її обертання навколо осі (Рис. 47.3)

Рис. 47.3

Утворена при цьому поверхня називається однопорожнинним гіперболоїдом обертання і має рівняння

3. Двопорожнинний гіперболоїд обертання

Якщо цю саму гіперболу обертати навколо осі , то отримаємо поверхню, яка називається двопорожнинним гіперболоїдом обертання (Рис. 47.4) і згідно з визначається рівнянням

або

Рис. 47.4

4. Параболоїд обертання.

Нехай парабола

Рис. 47.5

обертається навколо осі (Рис. 47.5). Утворена поверхня називається параболоїдом обертання і визначається рівнянням