Тема 5. Площа поверхні обертання

1. Площа поверхні обертання.

2. Розв’язування типових задач.

Короткі теоретичні відомості

Площа поверхні, що утворюється при обертанні навколо вісі Ох кривої y=f(x), а≤х≤b, f(x)≥0, обчислюється за формулою

(1)

де функції і ` неперервні на відрізку [a;b].

Якщо криву АВ задано параметрично рівняннями , де функції неперервні на [α, β], то

, (2)

причому значення α параметра t відповідає точці А, а значення β-точці В.

Типові задачі

1. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням навколо вісі Ох однієї арки циклоїди .

За формулою (2) дістаємо

2. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням навколо вісі дуги кубічної параболи y=x³,обмеженої точками О(0;0) та А( .

Знаходимо . За формулою (1) маємо

Питання для контролю вивченого матеріалу

1. Як обчислити площу поверхні, утвореної обертанням навколо вісі Ох кривої ?

2. За якою формулою обчислюється поверхня, якщо криву задано параметрично?

3. Обчислити площі поверхонь, утворених обертанням навколо вісі Ох таких кривих:

а) параболи y²=x+2 від вершини до точки з абсцисою х=0, y³0;

б) дуги синусоїди від х=0 до х=1;

в) дуги астроїди х=cos³ t, y=sin³ t, .

Література

1. Соколенко О.І. Вища математика: Підручник – К.: Видавничий центр „Академія”, 2002. – 432с.

2. Валуцэ И.И. Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1990. – 576с.

3. Дюженкова Л.І., Носаль Т.В. Вища математика: Практикум: Навчальний посібник. – К.: Вища школа, 1991. – 407с.: іл.

Тема 6. Довжина дуги кривої.

1. Поняття довжини дуги.

2. Обчислення довжини дуги кривої.

Короткі теоретичні відомості

М₁ М₂

А

B

Довжиною L дуги АВ називається границя, до якої прямує периметр Р_n вписаної в цю дугу ламаної, коли кількість n її ланок необмежено зростає, а найбільша із довжин S її ланок прямує до нуля:

Якщо функції неперервні на відрізку [a;b], то довжина відповідної дуги кривої

(1)

Якщо криву АВ задано параметрично рівняннями x=x(t), y=y(t), , де функції неперервні на , причому точці А відповідає значення параметра ,а точці В-значення , то довжина цієї кривої

(2)

Якщо криву задано в полярних координатах рівнянням , , то її довжина

(3)

де функції неперервні на відрізку

Приклад 1. Обчислити довжину напівкубічної параболи у²=х³ між точками з абсцисами х=1 і x=2.

Диференціюючи рівняння кривої, знаходимо

Тоді за формулою(1) .

Приклад 2. Обчислити довжину кардіоїди .

Задана крива симетрична відносно полярної вісі, тому при зміні кута

від 0 до полярний радіус опише половину кривої. Оскільки , обчислюємо за формулою (3) довжину кривої.

Питання для контролю вивченого матеріалу

1. Що називається довжиною дуги кривої та як вона обчислюється?

2. Обчислити довжини дуг таких кривих:

а) параболи між точками її перетину з віссю Ох;

б) кривої, заданої параметрично рівняннями

в) першого витка спіралі

Література

1. Соколенко О.І. Вища математика : Підручник.-К.: Видавничий центр “Академія”, 2002. - 432с.

2. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие.-2-е изд., переработан и дополнен-М.:Наука, 1990. - 576с.: ил..

3. Дюженкова Л.І., Носаль Т.В. Вища математика: Практикум: Навчальний посібник. - К.: Вища школа, 1991. – 407с.: іл..

Література

1. Рудавський Ю. К., Костробій П. П., Луник Х. П., Уханська Д. В. Лінійна алгебра та аналітична геометрія: Навч. підручник – Львів: Видавництво «Бескид Біт», 2002. – 262 с.

2. Рудавський Ю. К., Костробій П. П., Уханська Д. В. Збірник задач з лінійної алгебри та аналітичної геометрії. – Львів: Видавництво «Бескид Біт», 2002. – 256 с.

3. Валєєв К. Г., Джалладова І. А. Вища математика: Навч. посібник: У 2-х ч. – К.: КНЕУ, 2001. – Ч. 1. – 546 с.

4. Лейфура В. М. та ін. Математика: Підручник для студентів екон. спеціальностей вищ. нав. закладів І-ІІ рівнів акредитації. – К.: Техніка, 2003. – 640 с. іл.

5. Соколенко О.І. Вища математика. – К.: Видавничий центр “Академія”, 2002. – 430 c.

6. Гаврильченко Х. І.,Полушкін С. П., Кропив’янський П. С., Овчинников П. П. Вища математика: Зб. задач: У 2 ч. Ч. 1: Лінійна і векторна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу. Диференціальне та інтегральне числення: Навч. посібник для студ. вищ. техн. навч. закл.– 2-ге вид. стереотип.– К.: Техніка, 2004.-279с.: іл.

7. Шунда Н. М.. Томусяк А. А. Практикум з математичного аналізу: Вступ до аналізу. Диференціальне числення: Навч. посібник. – К.: Вища шк., 1992. – 303 с.: іл.

8. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.– М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,1990.– 576 с.

9. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа для втузов. – М., 1964. – 664 с.

10. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: Учеб. Пособие для техникумов. – М.: Высш. Шк., 1991. – 480 с.

11. Геометрия. Учебник: В 2 ч. / Под ред. Яковлева Г.Н. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978.

12. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник: В 2 ч. / Под ред. Яковлева Г.Н. – М.:Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит., 1987.

13. Глаголев А.А., Солнцева Т.В. Курс высшей математики. Изд. 2-е, перераб. и доп. Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 1971. – 656 с.

14. Богомолов Н. В. Практические занятия по высшей математике. Учебное пособие для техникумов. – М.: Высшая школа, 1973. – 472 с.

15. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевников Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов втузов. В 2-ух ч. – 4-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк., 1986. – 304 с.

Дюженкова Л.І., Носаль Т.В. Вища математика: Практикум: Навчальний посібник. – К.: Вища школа, 1991. –