Особенности течения при ламинарном режиме

ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ

Режимы движения жидкости

Одна из основных задач практической гидравлики − оценка потерь напора на преодоление гидравлических сопротивлений, возникающих при движении реальных жидкостей в различных гидравлических системах. Точный учет этих потерь во многом определяет надежность технических расчетов.

Чтобы правильно определить эти сопротивления, прежде всего необходимо составить ясное представление о механизме самого движения жидкостей. При исследованиях вопроса пришли к заключению о существовании двух различных, резко отличающихся режимов движения. Это было известно еще в первой половине XIX века, но со всей очевидностью подтверждено в 1883 году известным физиком Рейнольдсом на основе весьма простых и наглядных опытов.

Рисунок 31 – Схема установки Рейнольдса

Рейнольдс пропускал жидкость из бака Б, в котором с помощью перелива 7 поддерживался постоянный уровень, через стеклянные трубки различного диаметра, регулируя скорость движения жидкости в них кранами 1 и 5. По тонкой трубке 3 с заостренным концом ко входу в стеклянную трубку 4 подводилась окрашенная жидкость из сосуда 2. Средняя скорость V в трубке 4, имеющей площадь живого сечения ω, определялась по объему жидкости W, поступившей в мерный сосуд 6 за время t (рис. 31).

Как показывают исследования, структура потока при различных скоростях течения различна.

При малых скоростях течения в потоке жидкости появляются окрашенные струйки. Они движутся прямолинейно, без пульсаций, не перемешиваясь с соседними слоями жидкости (рис. 31а). Такое параллельно-струйное спокойное движение жидкости без поперечного перемешивания и при отсутствии пульсации скорости и давления называют ламинарным (слоистым) режимом движения жидкости.

При постепенном увеличении скорости движения жидкости при некоторой скорости течения параллельно-струйное движение нарушится, окрашенные струйки станут пульсирующими, появятся разрывы. А при дальнейшем увеличении скорости окрашенные струйки исчезнут, перемешавшись с потоком жидкости (рис. 31б). Движение станет беспорядочным вследствие пульсации скоростей и давления, что и приводит к перемешиванию частиц жидкости. Движение жидкости, во время которого происходит пульсация скоростей и давления, называют турбулентным (беспорядочным) режимом движения.

Обобщив результаты своих опытов, Рейнольдс нашел общие условия, при которых возможны существование того или иного режима или переход одного режима к другому. Он установил, что основными факторами, определяющими характер режима, являются: средняя скорость движения жидкости V, внутренний диаметр трубы d, плотность жидкости ρ и динамическая вязкость η.

Для характеристики режима движения Рейнольдс ввел безразмерный параметр Re, учитывающий влияние перечисленных факторов, называемый числом (или критерием) Рейнольдса.

Re=Vdρ/η, но η/ρ=ν, тогда Re=Vd/ν.

Границы существования того или иного режима движения жидкости определяются двумя числами Рейнольдса, которые называются критическими: нижним Re_Kр.H.=2320 и верхним Re_Kp.B.=13800 (сам Рейнольдс получил несколько иные значения Re_Kр.H.=2000 Re_Kp.B.=12000). Значения скоростей, соответствующие этим значениям числа Рейнольдса, также называют критическими (нижней критической V_h.k. и верхней критической V_b.k.).

Таким образом, при Re<Re_Kр.H. (соответственно V<V_h.k.) возможен только ламинарный режим, при Re>Re_Kp.B. (V>V_В.К.) − турбулентный, а при Re_Kp.H.<Re<Re_Kp.В., или V_Н.К.<V<V_В.К.) наблюдается неустойчивое состояние потока.

Тогда для определения характера режима движения жидкости необходимо в каждом отдельном случае вычислять число Рейнольдса Re=Vd/ν и сравнивать результат с критическими значениями.

В настоящее время при расчетах принято исходить только из нижнего значения критического числа Рейнольдса Re_Кp.=2320 и считать режим ламинарным при Re<2320, а турбулентным при Re>2320. При этом движение в неустойчивой зоне исключается из рассмотрения, что приводит к некоторому запасу и большей надежности в гидравлических расчетах.

С физической точки зрения критерий Re есть отношение сил инерции потока к силам трения при его движении.

Определение режима движения жидкости в практических расчетах имеет очень важное значение. Опыты показали, что потери напора по длине потока при ламинарном режиме движения пропорциональны средней скорости в первой степени:

h_ω=k_лV,

где h_ω − потери напора по длине потока;

к_л − коэффициент пропорциональности;

V − средняя скорость течения потока.

Для турбулентного режима движения потери напора по длине потока пропорциональны средней скорости в степени n:

h_ω=k_лVⁿ,

где n – показатель степени, изменяющийся от 1,75 до 2.

Покажем на графике (рис. 32) соотношение между потерями напора h_ω и числом Re. Как видно, с увеличением числа Рейнольдса показатель степени увеличивается. При развитой турбулентности n=2. Следовательно, при определении потерь напора надо знать характер режима движения, а затем уже выбрать соответствующую формулу для определения потерь напора.

Рисунок 32 Зависимость h_ω=f(Re)

Особенности течения при ламинарном режиме

Ламинарный режим характерен четким выделением отдельных струек. Рассмотрим распределение касательных напряжений, давления, скоростей при ламинарном режиме (рис. 33).

Рисунок 33 – Распределение касательных напряжений, давлений и скоростей по живому сечению при ламинарном режиме

Касательные напряжения. Касательное напряжение τ на произвольном удалении r от центра трубы можно записать из основного уравнения равномерного движения.

,

где I – гидравлический уклон, равный ;

R – гидравлический радиус, равный .

В соответствии с уравнением Бернулли гидравлический уклон для всех струек одинаков. Следовательно, касательные напряжения будут изменяться линейно. Максимальное значение τ у стенок трубы в прилипшем слое при , а на оси при r=0, τ=0.

Распределение давления. В этом случае действует закон статики, поэтому распределение давления происходит по гидростатическому закону. Наибольшее давление будет в точке С у нижней кромки трубы p_C=p_A+2γr₀, причем часто разницей давления по сечению трубы можно пренебречь и считать во всех точках его равным давлению в центре тяжести сечения на оси трубы.

Распределение скоростей. Касательные напряжения при ламинарном режиме можно выразить из закона вязкого трения Ньютона:

.

Приравняем два выражения

.

Из этого выражения, произведя преобразования и интегрирование, получим скорость:

.

Постоянную интегрирования C, определим из условий нулевой скорости на стенках трубы (U=0при r=0), откуда

.

Окончательно закон распределения скоростей имеет вид

; при r=0;

Эпюра скоростей в живом сечении представляет собой парабалоид вращения. Скорость изменяется от нуля в прилипшем слое у стенок трубы до V_max на оси.

Расход и средняя скорость. Элементарный расход в живом кольцевом сечении толщиной dr и удаленном от центра на расстояние r можно выразить по формуле:

.

Проинтегрировав это выражение от 0 до , получим расход потока жидкости:

.

Среднюю скорость определим из уравнения неразрывности , где , тогда:

.

Сопоставив выражения для расчета максимальной скорости V_max и средней скорости отметим, что они связаны соотношением: , с учетом этого соотношения закон распределения скоростей можно записать так:

.

Потери энергии (напора) и коэффициент Дарси. Формулу для определения потерь энергии на трение в круглой трубе можно получить, преобразовав формулу для расчета средней скорости, выразив в ней гидравлический уклон как , тогда

(формула Пуазейля).

В общем случае потери энергии на трение выражается формулой Дарси-Вейсбаха:

h_ТР= .

С учетом известных соотношений: ν=η/ρ, γ=ρ×ν, Re=V×d/ν получим значение коэффициента Дарси для ламинарного режима:

λ=64/Re.

Анализируя формулу, можно сделать вывод о линейной зависимости коэффициента Дарси λ от числа Рейнольдса Re, а также о такой же зависимости потерь на трение (по длине) h_ТР от средней скорости V.