Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока

Емкостная нагрузка в цепи переменного тока

1. Рассчитайте сопротивление конденсатора емкостью С = 0,1 мкФ переменному току, если частота тока а) 50 Гц; б) 1000 Гц; в) 10 кГц. Постройте график зависимости емкостного сопротивления от частоты переменного тока.

2. К городской сети переменного тока с напряжением Uэф = 127 В присоединен конденсатор емкостью С = 40 мкФ. Определите амплитудное значение тока в цепи.

3. К зажимам генератора присоединен конденсатор емкостью С = 0,1 мкФ. Определите амплитуду напряжения на зажимах генератора, если амплитуда тока Imax = 2,2 А, а частота тока n = 5 кГц.

4. Найдите емкость конденсатора, если амплитуда переменного напряжения на нем U0 =120 В, действующее значение тока I = 0,86 А, частота тока n = 50 Гц.

Индуктивная нагрузка в цепи переменного тока

1. Индуктивность катушки L = 0,5 мГн. Рассчитайте сопротивление катушки переменному току, если его частота а) 50 Гц; б) 1000 Гц; в) 10 кГц. Постройте график зависимости индуктивного сопротивления от частоты переменного тока. Катушка идеальная.

2. Найдите индуктивность катушки, если амплитуда переменного напряжения на ее концах Uмах = 160 В, амплитуда тока в ней Iмах = 10 А и частота тока 50 Гц. Катушка идеальная.

3. Индуктивное сопротивление катушки ХL = 500 Ом, эффективное напряжение в сети, в которую включена катушка, Uэф = 100 В, частота тока 1000 Гц. Определите индуктивность катушки и амплитудное значение тока в цепи. Активным сопротивлением катушки и подводящих проводов пренебречь.

Указания:

1. Помним, что для расчета емкостного или индуктивного сопротивления необходимо знать циклическую частоту w, а не обычную частоту n. Связь между ними w = 2pn.

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru
2. Закон Ома для цепи с катушкой или конденсатором можно записать как для амплитудных, так и для действующих (эффективных) значений тока и напряжения.

Нельзя применять закон Ома, если значение одной из величин (тока или напряженяе) действующее, а значение другой величины амплитудное!!!

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru
3. Действующие и амплитудные значения тока и напряжения связаны между собой следующим образом

Действующее и эффективное значение тока или напряжения – это одно и то же! Можно обозначать так, как Вам больше нравится – возможны три варианта:

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru

7. Последовательное соединение R, L, C.

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru Рассмотрим реальный колебательный контур с источником синусоидальной ЭДС. Задача заключается в определении тока, протекающего по цепи.

Задачу можно решить двумя способами: алгебраически и геометрически. Обратимся сначала к алгебраическому решению. Запишем для контура второй закон Кирхгофа – сумма падений напряжений вдоль замкнутого контура равна сумме ЭДС, действующих в контуре:

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru С учетом того, что

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru уравнение перепишется в виде

Введем привычные обозначения Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru . Тогда дифференциальное уравнение примет вид Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru .

С подобным дифференциальным уравнением мы уже сталкивались, рассматривая вынужденные механические колебания под действием синусоидальной внешней вынуждающей силы. Тогда же мы показывали, что решение уравнения ищется в виде Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru .

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru - решение однородного дифференциального уравнения имеет вид Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru , где Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru . С физической точки зрения это означает, что включение переменного тока сопровождается «звоном» собственных колебаний контура, затухающих с течением времени. Время затухания собственных колебаний будет порядка времени релаксации Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru .

Если же мы, как обычно в электротехнике, интересуемся установившимися колебаниями при Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru >> Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru , то, как было уже показано ранее решение дифференциального уравнения ищется в виде Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru . Физический смысл решения заключается в том, что под действием синусоидальной ЭДС в контуре будут происходить гармонические колебания с частотой внешней ЭДС. Очевидно, что мгновенные значения тока в контуре и напряжения на клеммах генератора сдвинуты по фазе, а это означает, что закон Ома для мгновенных значений тока и напряжения не выполняется.

В силу математической тождественности дифференциальных уравнений вынужденных механических и вынужденных электрических колебаний

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru
Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru
мы можем воспользоваться уже готовым результатом, проведя замену механических величин на соответствующие электрические. Тогда

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru Ток к цепи равен Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru , где

Амплитуда тока в контуре прямо пропорциональна амплитуде напряжения, то есть для амплитудных значений тока и напряжения выполняется закон Ома.

Величина Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru играет роль сопротивления последовательной Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru -цепи. Такое «сопротивление» принято называть импедансом.

Выше найден сдвиг фаз между зарядом и напряжением Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru , а поскольку колебания тока опережают колебания заряда на Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru , то сдвиг фаз между током и напряжением будет Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru .

Итак, поставленная задача решена. Мы показали, что под действием синусоидальной ЭДС в колебательном контуре происходят гармонические колебания тока, нашли амплитуду тока и сдвиг по фазе между током и напряжением. Для последовательной Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru -цепи можно пользоваться готовыми формулами. Однако, как правило, цепи переменного тока бывают не только последовательными. В этих случаях полученный нами результат не годится. В этих случаях гораздо проще рассчитать цепь графически, а не алгебраически. Покажем, как это делается.

При последовательном соединении сила тока одинакова во всех участках цепи, следовательно, Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru . Если Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru , то колебания напряжения на активной нагрузке Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru совпадают по фазе с колебания ми силы тока Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru .

На емкостной нагрузке колебания напряжения отстают от тока на Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru : Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru .

На индуктивной нагрузке напряжение опережает ток на Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru : Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru .

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru Мгновенное значение общего напряжения при последовательном соединении равно сумме напряжений на отдельных участках

Для сложения гармонических функций одинаковой частоты удобно воспользоваться методом векторных диаграмм. Каждое колебание изображается вектором, которому в полярных координатах соответствуют модуль (амплитуда) и полярный угол (фаза).

Изобразим вектор тока горизонтально. Напряжение на активной нагрузке Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru синфазно току, соответственно откладываем вектор Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru параллельно вектору тока. Напряжение Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru опережает ток на Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru , соответственно откладываем вектор Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru перпендикулярно току с опережением по фазе. Напряжение Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru отстает от тока на Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru , откладываем вектор Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru перпендикулярно току с отставанием по фазе.

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru

На диаграмме, как правило, опускают индексы «max», чтобы не загромождать рисунок.

Сумма всех трех векторов напряжений даст вектор общего напряжения Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru . Нетрудно видеть, что между током и напряжением существует сдвиг по фазе, это значит, что между мгновенными значениями тока и напряжения пропорциональность отсутствует. Для мгновенных значений тока и напряжения закон Ома не выполняется!

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru Сдвиг по фазе между напряжением и током

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru Амплитуда общего напряжения Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru равна

Опять-таки обнаруживаем пропорциональность между амплитудными значениями тока и напряжения, это значит, что для них выполняется закон Ома.

8. Резонанс напряжений (резонанс в последовательной Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru -цепи)

Предположим, что при заданной амплитуде напряжения Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru на клеммах генератора мы будем варьировать частоту Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru внешней ЭДС. Очевидно, что амплитуда силы тока Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru будет меняться, ибо индуктивное Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru и емкостное Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru сопротивления зависят от частоты Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru .

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru

Нетрудно видеть, что амплитуда тока примет максимальное значение при условии Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru или Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru . В этом случае наблюдается резонанс. При последовательном соединении элементов он называется резонансом напряжений. Векторная диаграмма при резонансе выглядит следующим образом

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru Напряжения на индуктивном и емкостном сопротивлениях равны по модулю и колеблются в противофазе, следовательно, они компенсируют друг друга. Общее напряжение становится равным падению напряжения на активной нагрузке.

Часто параметры контура подбираются таким образом, что Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru >> Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru . Тогда Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru >> Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru . При резонансе напряжений напряжения на отдельных участках цепи (на емкости и индуктивности) могут значительно превосходить напряжение на клеммах генератора.

Сдвиг по фазе между током и общим напряжением при резонансе обращается в ноль. При резонансе колебательный контур ведет себя как цепь исключительно с активной нагрузкой.

Частота тока, при которой наблюдается резонанс, может быть найдена следующим образом:

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru Как и следовало ожидать, резонанс наблюдается при совпадении частоты генератора с собственной частотой колебательного контура.

Резонансная кривая выглядит следующим образом

9. Резонанс токов

Рассмотрим параллельное соединение конденсатора с катушкой. Поскольку реальная катушка обладает активным сопротивлением, эквивалентная электрическая цепь будет выглядеть следующим образом:

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru

Задача остается прежней – зная приложенное напряжение, рассчитать ток в цепи.

При параллельном соединении напряжения на ветвях, содержащих конденсатор и катушку, одинаковые Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru . Ток в неразветвленной части Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru (его мы и хотим определить) делится на два тока Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru .

Для расчета этой цепи удобнее воспользоваться методом векторных диаграмм.

Начнем с ветви, содержащей индуктивность и активное сопротивление.

Напряжение на активной нагрузке совпадает по фазе с током – на векторной диаграмме вектор Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru сонаправлен вектору Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru .

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru Напряжение на индуктивной нагрузке опережает ток на Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru - строим вектор Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru перпендикулярно вектору тока с опережением по фазе. Общее напряжение находим по правилу параллелограмма. Оно опережает ток в Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru -ветви на Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru радиан.

Сопротивление Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru -ветви равно Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru . Амплитуда тока в этой ветви может быть найдена по закону Ома Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru , а сдвиг по фазе Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru определим по чертежу Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru .

Разложим ток в Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru -ветви на две составляющих – активную Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru , параллельную вектору напряжения, и Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru , перпендикулярную вектору напряжения:

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru

Теперь перейдем к построению векторной диаграммы для всей цепи. Поскольку напряжение на отдельных ветвях одинаково, в основу диаграммы положим вектор общего напряжения Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru , расположив его горизонтально.

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru

Ток в ветви, содержащей емкость, найдем по закону Ома Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru . Этот ток опережает напряжение по фазе на Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru и колеблется в противофазе с Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru . Ток в неразветвленной части цепи может быть найден по теореме Пифагора:

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru

Нетрудно видеть, что при выполнении условия Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru ток в неразветвленной части цепи принимает минимальное значение, равное Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru . При этом токи в ветвях Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru и Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru могут оказаться намного больше тока в неразветвленной части цепи, при этом они колеблются практически в противофазе. В этом случае мы имеем дело с так называемым резонансом токов. Векторная диаграмма для резонанса токов выглядит следующим образом

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru

При резонансе токов цепь ведет себя так, как будто в ней содержится только активная нагрузка. Аналогичная ситуация наблюдалась и при резонансе напряжений.

Найдем резонансную частоту

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru

Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru Тогда резонансная частота равна Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru . Как правило, активное сопротивление катушки Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru много меньше ее индуктивного сопротивления. В этом случае

т.е. резонанс токов наблюдается при совпадении частоты внешней ЭДС с собственной частотой колебательного контура.

Резонанс токов широко используется в радиотехнике, например, в приемном колебательном контуре антенны, в автогенераторе. В электротехнике резонанс токов используется для повышения коэффициента мощности Упражнения. Емкостная нагрузка в цепи переменного тока - student2.ru .

Наши рекомендации