Частотная характеристика системы

Частотная характеристика описывает установившиеся вынужденные колебания на выходе звена, вызванные гармоническим воздействием на его входе.

Частотная характеристика звена может быть легко получена по виду передаточной функции, полагая в ней аргумент :

. (1.12)

Частотную характеристику можно представить в показательном виде:

, (1.13)

где – амплитудная частотная характеристика (АЧХ);

– фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

Амплитудная частотная характеристика звена на частоте входного сигнала представляет собой отношение амплитуды установившегося выходного гармонического сигнала к амплитуде входного гармонического сигнала.

Фазовая частотная характеристика звена на частоте входного сигнала показывает, на сколько выходной сигнал сдвинут по фазе (углу) относительно входного сигнала.

Для частотной характеристики используется также и алгебраическая форма записи:

, (1.14)

где – действительная и мнимая части соответственно.

Согласно выражениям (1.13), (1.14) справедлива следующая связь между приведенными характеристиками:

, (1.15)

. (1.16)

Учитывая правила преобразования передаточных функций и выражение (1.13), можно утверждать, что при последовательном соединении звеньев их амплитудные частотные характеристики перемножаются, а фазовые частотные характеристики складываются.

Годографом частотной характеристики называют траекторию, которую описывает конец радиус-вектора, длина которого равна АЧХ системы, а угол поворота – ФЧХ. Координатами годографа в комплексной плоскости являются функции при изменении аргумента в пределах .

Пример 8.Вывести выражения для амплитудной и фазовой частотных характеристик звена с передаточной функцией вида

.

Частотная характеристика звена запишется, как

.

Для определения АЧХ и ФЧХ звена выделим в частотной характеристике согласно выражению (1.14) действительную и мнимую части. Для этого домножим числитель и знаменатель частотной характеристики на величину, комплексно сопряженную выражению в знаменателе:

.

В итоге действительная часть частотной характеристики примет вид

,

а мнимая часть – .

Используя правила (1.15), (1.16), определим АЧХ и ФЧХ звена:

Те же результаты можно получить, используя иные правила расчета АЧХ и ФЧХ звена по виду частотной характеристики.

Амплитудная составляющая может быть найдена как отношение модулей выражений в числителе и знаменателе частотной характеристики, а фазовая составляющая – как разность фазовых углов функций числителя и знаменателя частотной характеристики.

Для рассматривавемого примера получим: