Непрерывные случайные величины

Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия – непрерывная случайная величина. Ее возможные значения принадлежат некоторому промежутку (а;b).

Способы описания непрерывной случайной величины

1) Функция распределения.

2) Плотность распределения.

Плотность распределения вероятностей (плотность вероятности) непрерывной случайной величины X- функция f(x)- первая производная от функции распределения F(X):

F(x)= (x).

Плотность распределения называют так же дифференциальной функцией или дифференциальным законом распределения.

График плотности распределения называется кривой распределения.

Нахождение функции распределения по известной плотности распределения.

Теорема. F(x)=

Свойство плотности распределения.

1) f(x) 0

2) P(x₁ X <x₂ )=

3)

4_) P(x X <x + x) f(x) x, x-мало.

Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Если возможные значения непрерывной случайной величины X принадлежат [а;b], то:

Математическое ожидание M(X)= ;

Дисперсия D(X)= .

Теорема 1. D(X)=

Если возможные значения непрерывной случайной величины X принадлежит всей оси Оx,то

M(X)= .

D(X)= .

Теорема 2. D(X)= .

СКО непрерывной случайной величины δ(х)=

Теорема 3 Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных случайных велечин.

Пример Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения

0, x£0

F(x)= x, 0<x£1

1, x>1

Решение

0, x£0

f(x)=F`(x)= x, 0<x£1

1, x>1

¥ 0 ¥ 0 1 ¥ 1 1

M(X)=òxf(x)dx=òxf(x)dx+òxf(x)dx=ò(x*0)dx+ò(x*1)dx+ò(x-0)dx=0+òxdx+0=x²/2ô=1/2

-¥ -¥ 0 -¥ 0 1 0 0

¥ 1 1

D(x)=òx²f(x)dx-[M(x)]²=òx²dx-1/4=x³/3ô-1/4=1/3-1/4=1/12.

-¥ 0 0

Основные виды распределений непрерывных случайных величин.

1) Равномерное – распределение вероятностей, при котором на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения

сохраняет постоянное значение

Пример Шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых единицах.

Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину Х, которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними делениями. Т.е. Ч имеет равномерное распределение.

Плотность равномерного распределения на (a;b)

0, x£a

f(x)= 1/(b-a), a<x£b

0, x>b

M(X)=(a+b)/2; D(X)=(b-a)²/12; δ(X)=(b-a)/2

Часто в качестве интервала (a;b) берут интервал (0;1). Тогда

0, x£0

f(x)= 1, 0<x£1 M(X)=1/2; D(X)=1/12; δ(X)= =1/2 = /6

0, x>1

2) Нормальное - распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

f(x)= e^-

M(X)=a; D(X)=δ²; δ(X)= =δ

Нормальное распределение с параметрами a=0 и δ=1 называется нормированными.

Плотность нормированного нормального распределения:

Φ(x)= e (находится по таблице)

Функция распределения для нормального распределенной случайной величины Х:

x x

F(x)=òf(x)dx= òe dz

-¥ -¥

Функция распределения для нормированной нормально распределенной случайной величины Х:

x

F(x)= òe dz

-¥

Свойство функции F₀(x): F₀(x)+F₀(-x)=1ÞF₀(-x)=1-F₀(x)

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой ( кривой Гаусса)

Свойства плотности нормального распределения.

1) D(f): xÎR

2) f(x)>0 "xÎR

3) lim f(x)=0 Þ ось 0х- горизонтальная ассимптота графика

x®±¥

4) f_max=f(a)=

5) График функции симметричен относительно прямой х=а

6) Точки перегиба графика: x=a±δ; f(a±δ)=

При а=0 и δ=1 нормальную кривую Φ(x)= e называют нормированной.

Влияние параметров нормального распределения на форму и расположение нормальной кривой.

Измерение параметра a ( мат. ожидания ) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к её сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если a возрастает, и влево, если a убывает.

C возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси Ох; при убывании нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси Оу.

Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.

где - функция Лапласа (находится по таблице).

Пример.

Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и СКО этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10;50).

Решение.

a=30; =10.

Вычисление вероятности заданного отклонения.

(*)

Правило трех сигм.

Положим в формуле (*) Тогда

Если t=3, то и

Сущность правила трех сигм состоит в том , что если случайная величина разделена нормально, то величина ее отклонения от математического ожидания по модулю не превосходит утроенного СКО.

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение случайной величины неизвестно, но условие, указанное в правиле трех сигм, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально, в противном случае она не распределена нормально.

Медиана и мода случайной величины.

Медианой Ме(Х) непрерывной случайной величины Х называется такое её значение, для которого P(X<Me(X))=P(X>Me(X))= .

Геометрически вертикальная прямая x=Me(X) делит площадь фигуры под кривой разделения на две равные части. В точке x=Me(X) функция распределения равна , т.е. F(Me(X))= .

Модой М₀(Х) случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение для которого вероятность Р_i или плотность вероятности f(x) достигает максимума.

Различают унимодальные (имеющие одну моду), бимодальные (имеющие две моды) и полимодальные (имеющие несколько мод) распределения.

Неравенство Маркова.

Теорема. Для каждой неотрицательной величины Х, имеющей математическое ожидание М(Х) >0 справедливо соотношение:

, называемое неравенством Маркова.

Пример. Пусть Х- время опоздания студента на лекцию, причем известно что М(Х)=1(мин.) Оценить вероятность того, что студент опоздает не менее, чем на 5 мин.

Решение.

Неравенство Чебыщева.

Теорема. Для каждой случайной величины Х, имеющей дисперсию >0 справедливо неравенство Чебыщева.