Найти точки разрыва функции, если они существуют;
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник).т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление.-2003.-509 с.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс.Т.1. -2001.- 415 с.
3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Учеб. для вузов: в 3-х томах. – 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 – 2001. -697 с.
4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. -22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003.-432 с.
5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3-х томах. – 5-е изд., перераб. и доп. –М.: Дрофа. Т.1. – 2003.-703 с.
6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Учеб. для вузов в 2-х частях. – 6-е изд. стер. –М. Физматлит, 2002, -646 с.
7. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.
Решение типового варианта контрольной работы.
1. Вычислить пределы функций.
а) Найти 
.
Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью. Для этого найдем пределы числителя и знаменателя дроби. Функции 
и 
являются бесконечно большими. Поэтому, 
, 
.
Следовательно, имеем дело с неопределенностью вида 
.
Для раскрытия этой неопределенности и использовании теоремы о пределе отношения двух функций выделим в числителе и в знаменателе 
в старшей для числителя и знаменателя степени в качестве сомножителя и сократим дробь.
Ответ. 0.
б) Найти 
.
Решение.Для раскрытия неопределенности 
в этом случае, нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь на общий множитель.
Ответ. -9.
Найти 
.
Решение.Для вычисления данного предела подставим значение 
в функцию, стоящую под знаком предела. Получим,
.
Ответ. -3.
в) Найти 
.
Решение.Для раскрытия неопределенности в этом случае, нужно умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, а затем сократить дробь на общий множитель.
Ответ. 
.
г) Найти 
.
Решение.Для раскрытия неопределенности в этом случае, нужно выделить первый замечательный предел: 
Ответ. k
д) Найти 
.
Решение. Для раскрытия неопределенности 
в этом случае, нужно произведение преобразовать в частное, то есть неопределенность свести к неопределенности или 
.
Выделяем первый замечательный предел, то есть, умножаем числитель и знаменатель на 
. Получаем,
.
Ответ. 
.
е) Найти 
.
Решение.Для раскрытия неопределенности 
в этом случае, нужно выделить второй замечательный предел: 
.
Ответ. 
.
ж) Найти 
Решение.Для раскрытия неопределенности 
в этом случае, нужно выделить второй замечательный предел: 
.
Ответ. 
.
Найти 
Решение.Подставим значение 
в функцию, стоящую под знаком предела. Получим,
Ответ. 
.
2. Задана функция 
и два значения аргумента
.
Требуется:
- найти пределы функции при приближении к каждому из данных значений 
слева и справа;
- установить является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений ;
- сделать схематический чертеж.
Решение.Найдем левый и правый пределы в точке 
.
Левый предел конечен и равен 0, а правый предел бесконечен. Следовательно, по определению точка разрыва второго рода.
Найдем левый и правый пределы в точке 
.
, т.е. точка непрерывности функции .
Сделаем схематический чертеж.
Рис. 1
3.Функция задается различными аналитическими выражениями для различных областей независимой переменной.
Требуется:
найти точки разрыва функции, если они существуют;